Intervallo di localizzazione delle n radici di un polinomio di grado n

[.Ruben.]

Abbiamo un polinomio monico a coefficienti reali di grado $n$ che possiede $n$ radici tutte reali:
$x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+....+a_1 x + a_0 $
Dimostrare che tutte queste radici si trovano all'interno dell'intervallo di estremi:
$-a_{n-1}/n \pm (n-1)/n \sqrt{a_{n-1}^2 - (2n)/(n-1)a_{n-2}}$

Hint:

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Io ho usato: Formule di Viète, barbatrucchi algebrici e Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[orsoulx]

Come faccio spesso ho pensato a come si potrebbe mostrare a studenti di una scuola secondaria la soluzione del problema.
Questo lemma mi pare possa esser dimostrato con conoscenze non troppo elevate.
Dati $ n>1 $ numeri reali $ x_1, x_2, ... x_n $ con somma nulla, sia $ |x_1|=l $ quello (uno di quelli) più 'distante' dallo $ 0 $; il massimo della somma dei prodotti di tutte le possibili coppie di numeri distinti è negativo e si ottiene quando tutti i numeri diversi da $ x_1 $ coincidono.
Nello spoiler una dimostrazione 'dinamica' del lemma.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Posto $ k=x_1/{1-n} $ e $ \forall i: \quad y_i=x_i/k $, Sarà $ y_1=1-n $ e si vuole dimostrare che il massimo di $ P=sum _{i \ne j} y_i y_j $ si trova quando $ y_2=y_3=...=y_n=1 $ e vale $ P_{max}=(n-1)(1-n)+((n-1),(2))=-(n(n-1))/2=-((n),(2)) $.
Se non tutti gli $ y_i $ con $ i > 1 $ valgono $ 1 $, per essere $ sum_i y_i= sum_i x_i=0 $ esisterà almeno un $ y_a>1 $ ed un $ y_b<1 $, poniamo $y_a=1+r; y_b=1-s $ con $ r $ ed $ s $ positivi.
Sia $ P_0 $ il valore iniziale di $ P $; se modifichiamo i valori di $ y_a $ e $ y_b $, mantenendo costante la loro somma $ 2+r-s$, gli addendi di $P_0 $ in cui non compaiono né $ y_a $ né $ y_b $ non saranno modificati, mentre quelli in cui compare uno solo dei due cambieranno singolarmente, ma la loro somma $ (s+r-2)(2+r-s) $ [EC leggasi: $(s-r-2)(2+r-s) $ ]resterà costante: l'unica variazione di $ P_0 $ è quella derivante dal cambiamento dell'addendo $ y_a y_b $.
Addizionando $ s $ a $ y_b $ e sottraendo $ s $ da $ y_a $ la loro somma non cambia, mentre il loro prodotto passando da $1+r-s-rs $ a $ 1+r-s $ aumenterà di $ rs $ e si otterrà un nuovo valore di $ P $ : $ P_1=P_0 +rs $.
Questa operazione produce, quindi, almeno un (due se $ r=s $ ) nuovo $ y_i=1 $ aumentando il valore di $ P $ da $ P_0 $ a $ P_1 $.
Ripetendo la precedente modifica al più $ n-2 $ volte (almeno nell'ultima i valori $ y_i \ne 1 $ saranno due, simmetrici rispetto ad $ 1 $ ) P assumerà, successivamente i valori $ P_0<P_1<P_2<...<P_m $, con $ P_m $ corrispondente alla situazione in cui solo $ y_1 \ne 1 $.
Moltiplicando per $ k $ tutti gli $ y_i $ si torna agli $ x_i $ con $ l= |k| (n-1) $ e $ P_{max}=-k^2 ((n),(2)) $.

Ciao

[totissimus]

Siano $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ le $n$ radici reali del polinomio monico in un ordinamento qualsiasi.
Per le relazioni tra radici e coefficienti abbiamo:

$-a_{n-1}=\sum_{i=1}\alpha_{i}$ $a_{j}$

$ a_{n-2}=\sum_{i<j}\alpha_{i}\alpha_{j}$

Calcoliamo:
$\sum_{i=1}^{n}(\alpha_{i}+\frac{a_{n-1}}{n})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{2}+\frac{2a_{n-1}}{n}\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}+\frac{a_{n-1}^{2}}{n}=(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i})^{2}-2\sum_{i<j}\alpha_{i}\alpha_{j}-\frac{2a_{n-1}^{2}}{n}+\frac{a_{n-1}^{2}}{n}$
$=a_{n-1}^{2}-2a_{n-2}-\frac{a_{n-1}^{2}}{n}=\frac{n-1}{n}a_{n-1}^{2}-2a_{n-2}$
$x_{i}=\alpha_{i}+\frac{a_{n-1}}{n}$ $i=1,\ldots,n$

$\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}+a_{n-1}=-a_{n-1}+a_{n-1}=0$

$x_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}$

$x_{i}=\alpha_{i}+\frac{a_{n-1}}{n}$ $i=1,\ldots,n$

$\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}+a_{n-1}=-a_{n-1}+a_{n-1}=0$

$x_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}$

Per la convessità di $x^{2}$ abbiamo:

$\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_{i} )^{2}\leq\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}^{2}$

$(\frac{1}{n-1}x_{n})^{2}\leq\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}^{2}$

$\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}^{2}\geq\frac{1}{n-1}x_{n}^{2}$

$\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\geq x_{n}+\frac{1}{n-1}x_{n}^{2}$

$\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\geq\frac{n}{n-1}x_{n}^{2}$

Applicando questa disuguaglianza otteniamo:

$\frac{n}{n-1}(\alpha_{i}+\frac{a_{n-1}}{n})^{2}\leq\frac{n-1}{n}a_{n-1}^{2}-2a_{n-2}$

$(\alpha_{i}+\frac{a_{n-1}}{n})^{2}\leq\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}a_{n-1}^{2}-\frac{2(n-1)}{n}a_{n-2}$

da cui deriva la limitazione richiesta.

Auguro a tutti un felice Natale.

[orsoulx]

$ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\geq x_{n}-\frac{1}{n-1}x_{n}$
$ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\geq\frac{n}{n-1}x_{n} $

A mio avviso, la seconda non è una conseguenza della prima. Ad esempio risulta falsa con $ x_1=1; x_2=2; x_3=8 $.
Ciao e Buon Natale

[totissimus]

Gentile orsolux
ho provveduto a correggere l'enorme boiata che avevo scritto.
Spero che non ci siano altri errori.
Auguri

[orsoulx]

@totissimus,
mi pare che funzioni tutto, a parte definire "enorme boiata" una banale distrazione.
Cordialmente