insiemi di misura nulla

[ViciousGoblin]

Ripasso da questo forum dopo molto tempo e colgo quindi l'occasione di salutare tutti.

Mi è venuta in mente la seguente questione (che una volta avrei cercato di risolvere da solo, ma tant'è...).

Sarà mica vero che ogni insieme di misura nulla è contenuto nell'unione numerabile di insiemi chiusi di misura nulla? Cioè

$$m^*(E)=0\Leftrightarrow \mbox{ esiste una famiglia numerabile }\left(C_n\right)_{n=1}^\infty\mbox{ con }C_n\mbox{ chiusi },m^*(C_n)=0\mbox{ e }E\subset\bigcup_{n=0}^\infty C_n.$$

Qui $m^*$ indica la misura esterna secondo Lebesgue.

Ovviamente mi interessano gli eventuali controesempi.

[ViciousGoblin]

Credo di aver trovato un controesempio usando argomenti di categoria di Baire. Dunque la congettura dovrebbe essere falsa.

Il motivo recondito della domanda era sapere se i trascurabili secondo Lebesgue fossero unione numerabile di trascurabili secondo Jordan-Peano - cosa che dunque non dovrebbe essere vera.

[Rigel]

Poi ci racconti il controesempio?

[ViciousGoblin]

1)I chiusi di misura nulla hanno parte interna vuota, quindi una loro unione numerabile è un insieme di prima categoria.
2) Si può costruire un insieme trascurabile di seconda categoria (intersecando degli aperti densi di misura infinitesima).

Dunque l'inseme del punto 2) è trascurabile, ma non può essere ricoperto da un unione numerabile di chiusi trascurabili.

[Rigel]

Capito.
D'altra parte, altrimenti, per la misura di Lebesgue varrebbe la proprietà di regolarità dall'esterno con chiusi.

[ViciousGoblin]

Capito.
D'altra parte, altrimenti, per la misura di Lebesgue varrebbe la proprietà di regolarità dall'esterno con chiusi.

Non che sia importante dato che è tutto falso, ma mi pare che la regolarità esterna con i chiusi sia più forte di quello che volevo io. Se fosse vera la regolarità esterna con i chiusi ogni trascurabile avrebbe chiusura trascurabile (intersecando chiusi di misura infinitesima). O forse mi sfugge qualcosa.
Però, come dicevo, non è molto importante....

[Rigel]

Boh, forse hai ragione (ragionando sulle cose false è facile sbagliarsi).
Il claim (falso) iniziale, se non sbaglio, è: se \(E\) ha misura nulla allora esiste \(F\in \mathcal{F}_\sigma\) di misura nulla tale che \(E\subseteq F\).
Mi sembrava che questo fosse equivalente alla regolarità esterna con chiusi, ma forse mi sbaglio.