Rotore di F uguale ad F

[Federicie]

Ciao ragazzi, questo è il mio primo post e spero che sia nella sezione giusta
Il mio dubbio riguarda il rotore di campi vettoriali, mi spiego meglio, vorrei sapere se dato
$F: A\subset R^3\rightarrow R^3$ ; almeno $C^1$ su $A$ esistono soluzioni all'equzione $rotF=F$,in altre parole se esiste una funzione uguale al suo rotore. Al'inizio ho provato a risolvere direttamente il sistema alle derivate parziali direttamente, ma ho lasciato perdere quasi subito, ho anche cercato delle funzioni fatte da combinazioni di esponenziali nele varie variabili ma niente.
Allora ho provato a pensare meglio al problema... e ho notato che se esiete una F che soddisfa $rotF=F$ e se $F$ è almeno $C^2$ allora deve essere $d ivF=0$
(L'ho dedotto ipotizzando che se esiste tale $F$, allora $di v (rotF)=di vF$ calcolando la divergenza ad antrambi i membri, ma la divergenza del rotore di una funzione $C^2$ è zero.)
Allora usando il teorema della divergenza e prendendo un dominio $C$ regolare in $R^3$ si ha che anche $int_(\partial C) F\cdot n_e dS =0$, che è anche uguale a $int_(\partial C) rotF\cdot n_e dS =0$ per ipotesi. Ma allora visto che $\partialC$ è unione di $N$ superfici regolari e semplici usando il teorema di Stokes per ognuna di esse posso dire che$\int_(\partial(\partialC_k)) F ds=0=int_(\partial C_k) F\cdot n_e dS $ per ognuna delle k superfici, ed in particolare visto che le superfici sono arbitrarie, da $\int_(\partial(\partialC_k)) F ds=0$ dedurrei che $F$ deve essere il vettore nullo.
Cosa ne dite del ragionamento? e in particolare, se è giusto ma la funzione non è $C^2$ come si fa?
scusate se ci sono degli errori qua e la e grazie per le risposte

[Vincent46]

$$(0, \sin(x), \cos(x))$$

[Federicie]

Wow! Grazie non ci avevo pensato.

[dissonance]

Ho fatto una piccola ricerca sull'argomento:

http://math.stackexchange.com/q/186201/8157

[Federicie]

Questa sera me lo guardo con calma era un dubbio che mi "tormentava" da un po in effetti
Grazie ad entrambi!:)

[dissonance]

Si, ma non andarci troppo appresso, è piuttosto complicato (inutilmente, a parere mio). La cosa utile è l'osservazione che l'equazione
\[
\nabla \times \mathbf f = \lambda \mathbf f \]
si può riscrivere in notazione matriciale (e in coordinate cartesiane)
\[
\begin{bmatrix} 0 & -\partial_z & \partial_y \\ \partial_z & 0 & -\partial_x \\ -\partial_y & \partial_x & 0\end{bmatrix} \mathbf f = \lambda \mathbf f, \]
perciò, prendendo la trasformata di Fourier si ottiene un sistema di equazioni lineari che penso si possa risolvere esplicitamente con un po' di calcoli.

Tutto il resto di quel post usa una notazione pesante e non sono sicuro che vada davvero da qualche parte.

[Federicie]

Si, in effetti non mi sembrava molto "furba" la notazione el post, però l'idea di scriverla come matrice non mi era venuta in mente:)