Varietà topologiche e differenziabili, controintuizione?

[Livius]

''Ogni varietà topologica di dimensione <=3 ammette un atlante differenziabile compatibile con la topologia data''. Detto in soldoni allora, ogni varietà topologica è anche una varietà differenziabile se la dimensione è <=3. La cosa è controintuitiva, a mio avviso, per il seguente motivo: mettiamo di avere una varietà topologica immersa in R^n di dimensione <=3, il cui sostegno presenta dei punti angolosi di non tangenza, ma questa essendo anche una varietà differenziabile (con eventuale modifica dell'atlante), allora dovrebbe avere uno spazio tangente in ogni suo punto cozzando così con l'evidenza geometrica dei punti angolosi. Ho trovato anche dei semplici esempi espliciti che mostrano ciò, ma che non riporto adesso per brevità. Volevo chiedervi: è così, o c'è fraintendimento nelle considerazioni fatte?

[j18eos]

Scusami se non ti rispondo a pieno; ma hai provato a ragionare con questa curva differenziabile astratta?!

[GianlucaN]

Il problema è che vuoi forzatamente pensare alla varietà come immersa in uno spazio ambiente. L'intuizione che hai tu in merito ai punti angolosi è vera per le cosiddette "sottovarietà". Prendiamo ad esempio due segmenti ad L nel piano: puoi facilmente costruire un atlante di classe $C^1$ utilizzando una mappa che ne descriva i punti per mezzo di un parametro con il significato di un angolo. Quindi è una varietà differenziabile di dimensione 1. La descrizione è intrinseca e non "vede" il fatto che c'è un punto angoloso, (cosa che vedi tu se insisti pensando alla struttura in questione immersa nel piano).

(Non so quanto mi sia spiegato, se ti occorre ancora provo a farti un'immagine e a scrivere qualche formula)

[Livius]

Ok, grazie, forse adesso ho capito, solo per le sottovarietà la controintuizione è tale ( diciamo così), pur essendo anche le sottovarietà vere e proprie varietà differenziabili, se ben ricordo.