Base di un triangolo conoscendo un angolo, l'altezza e la mediana relative

Messaggioda ABRAMO48 » 19/02/2017, 22:36

Di un triangolo scaleno ABC, conosciamo l'angolo in A, l'altezza h del vertice A sulla alla base BC e l'angolo che la mediana dal vertice A forma con la base BC nel punto M.
Come trovare la misura della base?
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Re: Base di un triangolo conoscendo un angolo, l'altezza e la mediana relative

Messaggioda Oiram92 » 22/02/2017, 19:23

Magari un disegno non sarebbe guastato..se ho interpretato bene il testo dovrebbe essere così ?

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Re: Base di un triangolo conoscendo un angolo, l'altezza e la mediana relative

Messaggioda sandroroma » 22/02/2017, 20:01

E' sufficiente applicare risultati noti della geometria elementare.
Precisamente, indicando con $a,b,c$ le misure dei lati del triangolo, si ha il seguente sistema :
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$
$ah=bc\sin\alpha$
$\frac{4h^2}{\sin^2\delta}=2(b^2+c^2)-a^2$
($\delta$ è l'angolo tra mediana relativa al lato $a$ e il lato medesimo)
Nel sistema precedente la prima equazione è il teorema di Carnot applicato al lato $a$;
la seconda equazione è l'area del triangolo calcolata in 2 modi diversi
e la terza equazione è la formula della mediana applicata al lato $a$
Con qualche calcolo è possibile eliminare $b,c$ giungendo all'equazione nell'incognìta $a$:
$a^2+(4h\cot\alpha)a-\frac{4h^2}{\sin^2\delta}=0$
Da qui si può ricavare $a$. Forse il problema è risolubile con considerazioni puramente geometriche
ma non mi è riuscito di farlo.
Ultima modifica di sandroroma il 24/02/2017, 19:38, modificato 1 volta in totale.
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Re: Base di un triangolo conoscendo un angolo, l'altezza e la mediana relative

Messaggioda ABRAMO48 » 23/02/2017, 19:48

Risposta a Oiram92:

Sì, anche se, nel caso concreto l'altezza cade all'esterno della base BC, cioè il vertice C si trova fra il punto M e il punto A'.
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Re: Base di un triangolo conoscendo un angolo, l'altezza e la mediana relative

Messaggioda spugna » 25/02/2017, 18:27

sandroroma ha scritto:Forse il problema è risolubile con considerazioni puramente geometriche


Ci provo (ma lascio i conti a chi ha il tempo per farli) :P

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Partiamo da un segmento $B'C'$ di lunghezza unitaria, e cerchiamo $A'$ in modo da ottenere un triangolo simile ad $ABC$: conoscendo $\alpha$, troviamo la circonferenza circoscritta ad $A'B'C'$ (raggio $1/{2 sin alpha}$), e conoscendo $\beta$ sappiamo che $A'$ appartiene alla retta che forma un angolo $beta$ con $B'C'$ e che interseca quest'ultimo nel suo punto medio $M'$, quindi $A'$ è uno dei due punti di intersezione tra la retta e la circonferenza (quello più lontano da $M'$ se $alpha$ è acuto e quello più vicino se è ottuso). Detta $A''$ la seconda intersezione, calcoliamo $A'M'$ e $A''M'$: il loro prodotto è $B'M'*M'C'=1/4$ per il teorema delle secanti, e la loro somma è $A'A''$, che si ricava da $alpha$ e $beta$ (si trova facilmente la distanza dal centro, che è $1/2 |cot alpha cos beta|$). A questo punto poniamo $m'=A'M'$, che è la lunghezza della mediana relativa a $B'C'$, e osserviamo che in $ABC$ la lunghezza della mediana corrispondente è $m=h/{sin beta}$, quindi $ABC$ si ottiene da $A'B'C'$ moltiplicando tutte le lunghezze per $m/{m'}$, e in particolare $BC=m/{m'}$.
$2022=phi^15+phi^13+phi^10+phi^5+phi^2+phi^(-3)+phi^(-6)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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