inconsueto calcolo del quadrato di un numero

[Rocco53]

Buona sera ragazzi, questo che voglio farvi conoscere non è un quiz matematico; ma qualcosa che ho scoperto tempo fa,e
vorrei sottoporre alla vostra attenzione.
Comincio col definire le variabili della formula finale con cui si può calcola il quadrato di un numero.
N è un numero intero,u=unità del quadrato dell' ultima cifra di N ( es. N=59 quindi u=1),y=N-3 (nel nostro es.y=56),k=unità
di y ( es. k=6),d= decine di y ( es. d=5 ),a può valere 4 se k maggiore o uguale a 4 altrimenti vale k ( es. a=4),b vale zero
se k minore o uguale 4, altrimenti b=k-a (b=2).
N^2=[ (1+2+.......+d) 20+2d(a-2+b)+a+2 b] 10 +u
Nel nostro esempio 59^2=[ (1+2+3+4+5)20+2*5(4-2+2)+4+2*2]10+1=[15*20+10*4+8]10*1=(300+48)*10+1=3481.
Sicuramente è un metodo inconsueto; però vero, l' ho verificato per alcuni numeri, ciò non basta per dire che è vero qualsiasi sia N, bisognerebbe dimostrarlo.
Con questo ho finito, spero di esser stato chiaro, mi scuso per eventuali affermazioni non perfette; ma la materia è ormai
un lontano ricordo.
Faccio un ulteriore esempio N=62 per cui u=4,y=59,k=9,d=5,a=4,b=5; sostituendo nella formula:
62^2=[(1+2+3+4+5)*20+2*5(4-2+5)+4+2*5]*10+4=[15*20+10*7+4+10]*10+4=[300+70+14]*10+4=384*10+4=3844.
Vi invito a provare per N=63, vedrete che la formula si semplifica notevolmente perché a e b sono uguali a zero;
ciò accade per tutti i numeri che hanno l' ultima cifra uguale a tre.

[kobeilprofeta]

Allora, vediamo...
Tu proponi :
$10*[(1+...+d)*20+2d (a+b-2)+a+2b]+u $
Riscrivo $(1+2+...+d)*20=frac {d^2+d}{2}*20=(d^2+d)*10=10d^2+10d$, quindi diventa
$10*[10d^2+10d+2d (a+b-2)+a+2b]+u $
Noto che $a+b=k $
$10*[10d^2+10d+2d (k-2)+k+b]+u=10*[10d^2+2d (5+k-2)+k+b]+u=100d^2+20d (k+3)+10k+10b+u=(10d)^2+2*(10d*(k+3))+(10k+10b+u) $
Ora se riuscissi a dimostrare che l'ultimo termine è uguale a (k+3)^2, avrei
$...=(10d+k+3)^2$ (quadrato del binomio).

Ma $10d+k=y => 10d+k+3=y+3=N $

[Rocco53]

Mi aspettavo una domanda semplice e cioè: ma da dove arriva questa cosa???
Proviamo a guardare come variano le prime cifre dei quadrati dei numeri.
Il quadrato di 4 è 16, la prima cifra è 1; di 5 è 2 e così fino al 7.Per i primi 4 numeri
abbiamo la progressione di 1.Per i successivi 6 (fino al 13) la progressione è di 2.
Proseguendo noterete che le progressioni aumentano sempre di 1 e a un gruppo di 4
numeri segue uno di 6. Però a questo punto mi fermo, per arrivare alla formula c'è
ancora molta strada, sarete sicuramente in grado di arrivarci da soli e avrete così
il piacere della scoperta.

[Rocco53]

Quanto prima esposto mi è capitato di scoprirlo quando , da giovane,stavo preparando l' esame
di analisi . Anche se l' argomento è completamente estraneo al programma di analisi,osservando come variano le prime cifre, cioè le decine, dei quadrati mi accorsi che seguivano una regola ben precisa,che è quella a cui ho accennato prima.Ultimamente, ormai in pensione,ho pensato di estrapolare una formula che dato un numero calcoli il quadrato, ed è quella enunciata all'inizio.
Ora quanto ciò apporti nuove conoscenze alla matematica non lo so valutare, le mie conoscenze
in materia sono modeste e anche datate; ho voluto,con questo intervento,portare il tutto a conoscenza di una platea competente e mi farebbe piacere sapere cosa ne pensate.
Comunque, una utilità pratica l'ho scoperta, se si vuol calcolare il quadrato mentalmente si può
procedere facendo riferimento a questa formula: N^2= (e+f+g)*10+u dove e=10*d^2+6*d,
f=a[2(d+1)-1], g=b[2(d+1)].
Questa nuova formula non è nuova; ma la stessa espressa in maniera più comoda.
Ora proviamo a calcolare il quadrato di 73: d=7 mentre a e b sono zero,quindi basta calcolare il quadrato di 7 ,"appiccicarci"
uno zero,aggiungerci il sestuplo di 7 e "appiccicarci u=9.Cioè 7*7=49 quindi 490 +42 cioè 532 e alla fine 5329.Sembra facile, per il successivo 74 c'è da calcolare f a=1 quindi f=15 che sommato
ad e=532 abbiamo 547, u=6 quindi 74^2=5476; se però cerchiamo il quadrato del precedente 72 le cose si complicano ...... volete provarci ????