Triangoli e volume (SISSA, LM12-3)

Messaggioda Dobrogost » 04/04/2017, 17:15

Ciao a tutti! Ho un dubbio stupido su un esercizio per l'ammissione in SISSA al IV anno (se mi consentite, non userò LaTeX perchè è davvero facile da spiegare).

Sostanzialmente, ho tre punti a un tempo t fissato:
A(t)=(t, t^3, t);
B(t)=(t, t, t);
C(t)=(0, 2t, t);

Questi tre punti formano un triangolo (potenzialmente degenere) che si muove nello spazio al variare di t. L'esercizio chiede di trovare il volume del solido generato dal triangolo per t in [0,2].

Ora, io avevo pensato a Guldino, ma leggendo sul testo di analisi della mia università faccio un po' fatica a capire come applicarlo. Se non ho capito male, dovrei trovare il modo di esprimere la velocità del centroide moltiplicata scalarmente per la normale.

Il centroide lo calcolo come baricentro del triangolo giusto? E per la normale come posso fare? Va bene fare il prod. vettoriale di AB e AC ad esempio? Ripeto, mi rendo conto della relativa semplicità della domanda, ma faccio fatica a visualizzare il tutto seguendo il procedimento del libro.
Dobrogost
New Member
New Member
 
Messaggio: 1 di 68
Iscritto il: 04/04/2017, 17:03

Re: Triangoli e volume (SISSA, LM12-3)

Messaggioda orsoulx » 05/04/2017, 09:13

A mio avviso, Guldino non è applicabile. Basta 'affettare' il solido normalmente all'asse $ z $.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si ottengono triangoli di area $ 1/2 |t^2-t^4| $, quindi il volume sarà $ 1/2 int_(0)^(2) |t^2-t^4| dt=2 $.

Ciao
PS è anche altrettanto facile aggiungere un segno di dollaro '$' prima e dopo le formule.
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
orsoulx
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1067 di 3906
Iscritto il: 30/12/2014, 11:13

Re: Triangoli e volume (SISSA, LM12-3)

Messaggioda Dobrogost » 05/04/2017, 10:35

Avevo pensato a una cosa simile, ma mi sembrava troppo semplice -.-'
A parte questo, perchè dici che Guldino non è applicabile? Ieri avevo fatto i conti e mi veniva questa cosa:
$b(t) = (2/3t,1/3(3t+t^3),t)$ come luogo del centroide al variare di t.
$n(t)=(0,0,1)$ come normale
A questo punto devo calcolare $\int(b'(t)*n(t))*Area(t)$ e dovrebbe venire come hai detto te
Dobrogost
New Member
New Member
 
Messaggio: 2 di 68
Iscritto il: 04/04/2017, 17:03

Re: Triangoli e volume (SISSA, LM12-3)

Messaggioda orsoulx » 05/04/2017, 13:20

Esser troppo semplice non è una cosa brutta.
Per quanto concerne i t. di Guldino, io li conosco solo riferiti a figure di rivoluzione, ma sono troppo diversamente giovane per ricordare eventuali generalizzazioni a solidi qualsivoglia. Magari altri potranno chiarirci le idee.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
orsoulx
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1068 di 3906
Iscritto il: 30/12/2014, 11:13


Torna a Pensare un po' di più

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite