Sia $A$ un anello. Ometto le definizioni di $A-modulo$, complessi di $A-moduli$ e di gruppo di coomologia.
Definizione. (Quasi isomorfismo) Un morfismo $f: C \mapsto D$ di complessi ($(C,d)$ e $(D,\delta)$) si dice un quasi isomorfismo se $tilde(f): H^n(C) \mapsto H^n(D)$ è un isomorfismo per ogni $n \in ZZ$.
Ora, il prof in classe ha fatto un esempio in cui esiste un quasi isomorfismo in un verso ma non nell'altro...
\require{AMScd}
\begin{CD}
0@>>>\mathbb{Z} @>•2>> \mathbb{Z}@>>>0\\
@@VVV @@VV \pi V\\
0@>>>0 @>>> \mathbb{Z}/2@>>>0
\end{CD}
Non fate caso al simbolo "@", non so come spostare le frecce e quindi ho dovuto mettere quel simbolo per allineare le frecce in quel modo.
In pratica il prof dice che quello è un quasi isomorfismo ma ma nel verso opposto non esistono quasi isomorfismo, perché?