[Algebra 3]Quasi isomorfismi

[dan95]

Sia $A$ un anello. Ometto le definizioni di $A-modulo$, complessi di $A-moduli$ e di gruppo di coomologia.
Definizione. (Quasi isomorfismo) Un morfismo $f: C \mapsto D$ di complessi ($(C,d)$ e $(D,\delta)$) si dice un quasi isomorfismo se $tilde(f): H^n(C) \mapsto H^n(D)$ è un isomorfismo per ogni $n \in ZZ$.

Ora, il prof in classe ha fatto un esempio in cui esiste un quasi isomorfismo in un verso ma non nell'altro...

\require{AMScd}
\begin{CD}
0@>>>\mathbb{Z} @>•2>> \mathbb{Z}@>>>0\\
@@VVV @@VV \pi V\\
0@>>>0 @>>> \mathbb{Z}/2@>>>0
\end{CD}

Non fate caso al simbolo "@", non so come spostare le frecce e quindi ho dovuto mettere quel simbolo per allineare le frecce in quel modo.

In pratica il prof dice che quello è un quasi isomorfismo ma ma nel verso opposto non esistono quasi isomorfismo, perché?

[j18eos]

In questo momento non ricordo la definizione di isomorfismo di complessi; ma supponendo che la definizione sia di natura categoriale: è ovvio che quei due complessi non siano iso-morfi; in quanto l'unico morfismo di anelli commutativi con unità da \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\) a \(\displaystyle\mathbb{Z}\) è \(\displaystyle\cdot0\).

Lo stesso ragionamento vale con ogni campo \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\).

[dan95]

Quindi anche $\tilde(f)$ è $0$...

[j18eos]

No, assolutamente!

\(\displaystyle\widetilde{f}\) è l'identità ad ogni ordine di coomologia.

[dan95]

Edit: ho detto una str****ta

[j18eos]

Ma che dici? In entrambi i complessi, il primo gruppo di coomologia è \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\); mentre gli altri, incluso lo zero-esimo, sono nulli...

[dan95]

Allora...approfitto della situazione per chiarire alcune cose dato che sono alle prime armi con questi argomenti...

Tu dici che $H^{1}(C)=Z^{1}(C)//B^{1}(C)=ZZ//2$ perché $Z^{1}(C)={x \in ZZ | dx=0}=ZZ$ e $B^{1}(C)={2y \in ZZ | y \in ZZ}=(2)$ e $H^{1}(C)=Z^{1}(C)//B^{1}(C)=ZZ//2$ perché $Z^{1}(C)={x \in ZZ | dx=0}=ZZ//2$ e $B^{1}(C)={2y \in ZZ | y \in ZZ}={0}$...che babbasone che sono...

Ma invece perché $\tilde(f)=Id$ per ogni ordine ma allora è un quasi isomorfismo anche nel senso opposto?!...

[killing_buddha]

L'unico morfismo che esiste nel verso opposto e' lo zero, perche' non esistono morfismi nonzero da un torsione a un libero. Del resto questo non e' un quasi isomorfismo: in coomologia induce la mappa zero.

[dan95]

Come pensavo...grazie mille!