[Algebra 3] Esercizio

Messaggioda dan95 » 16/04/2017, 17:12

Qualche definizione...
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Definizione. ($A$-modulo) Sia $A$ un anello. Un $A$-modulo è il dato di un gruppo abeliano $(M,+,0)$ e di un prodotto per scalare
$$\cdot : A \times M \mapsto M\\
(a,m) \mapsto a \cdot m$$
tale che:
i) $a(bm)=(ab)m$
ii) $a(m+n)=am+an$
iii) $1\cdot m=m$
iv) $(a+b)m=am+bm$
Esempio. $A=ZZ$ e $M=(2)$.
Definizione. (Complesso di $A$-moduli). Si dice complesso di $A$-moduli $M^{i}$ con $i \in ZZ$ e si indica con $M=(M^i,d)$, dove $d={d^i}$ è il differenziale che soddisfa $d^{i} @ d^{i-1}=0$, la catena
\begin{CD}
\cdots @>d^{i-2}>>M^{i-1}@>d^{i-1}>>M^{i} @>d^{i}>>M^{i+1}@>d^{i+1}>> \cdots
\end{CD}

Esempio.
\begin{CD}
0 @>>> \mathbb{Z} @>\cdot 2>> \mathbb{Z} @> \pi >> \mathbb{Z}/2@>>> 0
\end{CD}
Definizione. (Cono) Sia $f: C \mapsto D$ morfismo di complessi $(C^i,d)$ e $(D^i,d)$, dicesi cono di $f$ e si indica con $Cono(f)$ il complesso $Cono(f)=(Cono(f)^i,\delta)$, dove $Cono(f)^{i}=C^{i+1} o+ D^i$ e $\delta(x,y):=(-dx,f(x)+dy)$

Siano $C$ e $D$ complessi. Determinare $Hom(C,Cono(Id_{D}))$.

Hint:
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Il diagramma con il complesso $(C^i,d)$ sopra e il complesso $(Cono(Id_{D})^i,\delta)$ sotto e gli omomorfismi $f^i: C^i \mapsto Cono(Id_{D})^i=D^{i+1} o+ D^i$ deve commutare per ogni $i$, cioè $f^{i+1} @ d=\delta @ f^i$.


Ultimo bump di dan95 effettuato il 16/04/2017, 17:12.
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