[Geometria Differenziale] De Rham di $\mathbb{T^n}$

[dan95]

Calcolare
$$H_{DR}^{k}(\mathbb{T}^n)$$

Hint:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ricordando che $\mathbb{T}^n \cong S^1 \times \cdots^{n} \times S^1$ e
$H_{DR}^{k}(S^1)={(RR\ \ k=0 or 1),(0\ \ k>1):}$

[killing_buddha]

Ma è un esercizio che non sai fare o stai chiedendo all'utenza di farlo? Perché sta davvero in ogni libro che sia mai stato scritto

Variamo un po' la richiesta: in quanti modi diversi si può fare? Me ne vengono in mente tre

1. Kűnneth: è il modo in cui volevi farlo tu, e dice che \(h^k = \binom{n}{k}\) -in particolare, nessuna coomologia ha torsione-. E' un modo che incidentalmente dice qualcosa anche sulla struttura dell'algebra di coomologia di \(\mathbb{T}^n\) che, per il teorema di Kűnneth stesso (o se vuoi per il fatto che il toro è un gruppo di Lie, e che le algebre di coomologia di un gruppo di Lie sono algebre esterne) dice che \(H^\bullet(\mathbb{T}^n)\) è esattamente \(\bigwedge H^1_\text{dR}(\mathbb{S}^1)\), ovvero \[\mathbb{R}[X_1,\dots, X_n]/\langle X_i^2,\; X_iX_j + X_jX_i \mid i < j\rangle.\] 2. Mayer-Vietoris: si prendono due aperti $U=\mathbb{T}^{n-1}\times ]\epsilon, 1-\epsilon[$ e \(V = \mathbb{T}^{n-1}\times \big( [0,\epsilon[\sqcup ]1-\epsilon,1]\big)\) e si guarda la successione esatta lunga.
3. C'è un fibrato $X\to \mathbb{T}^n$ che permette di usare la successione spettrale di Serre?

[dan95]

Hai ragione killing in effetti sta dappertutto...

Comunque al terzo modo non avevo pensato considerando che non conosco la successione spettrale di Serre