Distanze stravaganti

Messaggioda Pigreco2016 » 25/04/2017, 10:06

Buongiorno. Qualcuno conosce una definizione di distanza (una distanza nel piano) che ha come intorni dei punti esattamente i poligoni regolari con un numero dispari di lati????? Sono riuscito a trovare una distanza che ha come intorno dei triangoli equilateri e dei pentagoni non regolari" però non riesco ad estenderla ad un numero arbitrario dispari di lati. Non ho mai letto niente del genere su internet e manco sui libri. Da quello che ho visto bisogna cercare di combinare valori assoluti con termini lineari in x e y. Qualche dritta???
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Re: Distanze stravaganti

Messaggioda Rigel » 26/04/2017, 14:26

Sono curioso di vedere le distanze che hai trovato per triangoli e pentagoni.

Richiamo qui una construzione che invece funziona nel caso di poligoni regolari con un numero pari di lati.
Considera un insieme compatto convesso \(K\subset\mathbb{R}^n\) che contenga l'origine come punto interno e che sia simmetrico rispetto all'origine. (In questa classe rientrano, nel caso \(n=2\), i poligoni regolari con un numero pari di lati, centrati nell'origine.)
Se definisci la funzione di gauge
\[
\rho(\xi) := \min\{ t\geq 0 :\ \xi \in t K\}
\]
allora la funzione \(d(x,y) := \rho(x-y)\) dovrebbe fare al caso tuo.
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Re: Distanze stravaganti

Messaggioda gugo82 » 26/04/2017, 18:51

Scusate, ma sbaglio o non esiste alcuna distanza "sensata" che faccia questo gioco?

Mi pare strano per mancanza di simmetria...
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Re: Distanze stravaganti

Messaggioda Pigreco2016 » 28/04/2017, 09:24

L'equazione che ho inventato per avere triangoli equilateri è:
$|(y-y_1)/2|sin(pi/3)+|cos(pi/(3))(x-x_1)+|(y-y_1)/(2)|*sin(pi/(3))-(r)/(8)|-3/(8)* r= 0$
$r$ indica la distanza del baricentro da uno dei tre vertici, $(x_1,y_1)$ indica il baricentro del triangolo ed esso ha un vertice nell'asse x nel caso si prenda il baricentro come l'origine degli assi (ponendo $(x_1,y_1)=(0,0)$).
Effettivamente quella che ho scritto non è una distanza dato che non rispetta $d(\underline(x),\underline(y))=d(\underline(y),\underline(x))$. Però il mio intento è quello di rappresentare i poligoni con un numero dispari di lati attraverso equazioni variando solamente dei parametri. Pazienza se non sono distanze :-D Questo è un puro scopo "artistico". Quella per il pentagono manco la riporto perché è una cosa simile a questa e in più manco esce regolare.
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Re: Distanze stravaganti

Messaggioda Rigel » 05/05/2017, 21:28

gugo82 ha scritto:Scusate, ma sbaglio o non esiste alcuna distanza "sensata" che faccia questo gioco?

Mi pare strano per mancanza di simmetria...


Da qui nasceva la mia curiosità...
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Re: Distanze stravaganti

Messaggioda LucreziaL » 10/05/2017, 10:32

be' giustamente
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