Calcolare la serie
$S =1/(1+π^2)+1/(1+4π^2)+1/(1+9π^2)+...+1/(1+(nπ)^2)+...$
ossia $S = $ <somma, per $n$ da $1$ a $+∞$, di $1/(1+(nπ)^2)$>.
Suggerimento:
Calcolato empiricamente $S$ con buona approssimazione, si ponga $S = 1/(x^2 - 1)$ e si calcoli $x$, cioè
$x=sqrt(1+1/S)$.
Si riconoscerà al volo cos'è $x$ allo stesso modo che si riconosce di colpo che 1,41421356... è $sqrt2$.
Dopo di che ... viene la parte più difficile ma più interessante: dimostrare che, se S è il limite di quella serie, allora
$sqrt(1+1/S)$
è davvero (cioè esattamente) quel reale che si è riconosciuto nel numero x calcolato empiricamente.
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