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"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che PUO' essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina." [semi-citazione]

@Dobrogost: Buona idea quella di tirare in ballo i polinomi di Chebyshev. Le espressioni come $\sum_i T_n(x_i)$ si incontrano nelle questioni di interpolazione sulla circonferenza (o sulle sfere di qualsiasi dimensione, sostituendo a $T_n$ degli altri sistemi di polinomi ortogonali. In questo link si parla in generale di "polinomi di Legendre in dimensione $q$", intesi come il sistema di polinomi ortogonali su $[-1, 1]$ rispetto al peso $(1-x^2)^\frac{q-3}{2}$. Per $q=2$ si ritrovano i polinomi di Chebyshev):

https://books.google.fr/books?id=9hx6Cw ... &q&f=false

Secondo me da "Theorem 3" della pagina del link si potrebbe ottenere una dimostrazione diretta. Inoltre credo che questo approccio sia facilmente generalizzabile alle somme di polinomi di Legendre in tutte le dimensioni.

Voglio farvi notare che ho rilanciato con la congettura che possa annullarsi la somma per qualche $n$.

Il rilancio è falso senza ulteriori ipotesi su $\theta_i$. Per esempio, se $k=1$ e $theta_1=1$. In questo caso semplice il problema ha soluzione se e solo se $\theta_1$ è un sottomultiplo di $\pi/2$ (mi pare). In ogni caso il problema generale *mi pare* senza speranza.

Perfetto, restate in attesa per qualche mia altra intuizione da dimostrare