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Inviato: **18/05/2017, 22:36**

Non è un esercizio per il quale mi serve un aiuto.

Sia $M$ uno $ZZ$-modulo e $T(M)={x \in M| \exists n >0 t.c. n\cdot x=0}$ il suo sottogruppo di torsione. Dimostrare che
1) $\text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,N) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(T(M),T(N))$
2) $T(M) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,QQ//ZZ)$

Tra qualche giorno metto in spoiler la soluzione

Inviato: **19/05/2017, 17:26**

A me sembra che $\displaystyle T(M)$ sia un sottomodulo di $\displaystyle M$... ma potrei sbagliarmi!

Inviato: **19/05/2017, 17:47**

$M$ è $ZZ$-modulo $\Rightarrow$ $M$ è abeliano $\Rightarrow$ $T(M)$ è abeliano $\Rightarrow$ $T(M)$ è $ZZ$-modulo

Ricordo che $T(M)=0 \Leftrightarrow M$ piatto in $ZZ$, inoltre $\text{Tor}_{n}^{ZZ}(M,N)=0$ per ogni $N$ e $n>0$ se $M$ piatto

Inviato: **20/05/2017, 10:24**

Ah già: $\displaystyle\mathbb{Z}$-modulo e gruppo abeliano sono sinonimi; me lo dimentico sempre...

Inviato: **20/05/2017, 12:10**

dan95 ha scritto:$T(M)=0 \Leftrightarrow M$ piatto

Falso se l'anello non è locale

Inviato: **20/05/2017, 13:14**

M lo intendo come $ZZ$-modulo

Inviato: **21/05/2017, 17:57**

Soluzione 1

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Consideriamo la successione esatta
\begin{CD}
0 @>>> T(M) @>>> M @>>> M/T(M) @>>> 0
\end{CD}
Applicando il funtore $\text{Tor}_{n}^{\mathbb{Z}}$ e ricordando che $T(M//T(M))=0$ e quindi $M//T(M)$ è piatto, abbiamo
\begin{CD}
0=\text{Tor}_{2}^{\mathbb{Z}}(M/T(M)) @>>> \text{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(T(M),N) @>~>> \text{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M,N) @>>> \text{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M/T(M),N)=0
\end{CD}
Scambiando ora $N$ con $T(M)$ e $M$ con $N$ e ragionando analogamente a prima otteniamo la tesi

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[Algebra omologica] Due isomorfismi

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