[Algebra omologica] Due isomorfismi

Messaggioda dan95 » 18/05/2017, 22:36

Non è un esercizio per il quale mi serve un aiuto.

Sia $M$ uno $ZZ$-modulo e $T(M)={x \in M| \exists n >0 t.c. n\cdot x=0}$ il suo sottogruppo di torsione. Dimostrare che
1) $\text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,N) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(T(M),T(N))$
2) $T(M) \cong \text{Tor}_{1}^{ZZ}(M,QQ//ZZ)$


Tra qualche giorno metto in spoiler la soluzione
Ultima modifica di dan95 il 20/05/2017, 13:06, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda j18eos » 19/05/2017, 17:26

A me sembra che \(\displaystyle T(M)\) sia un sottomodulo di \(\displaystyle M\)... ma potrei sbagliarmi!
Ipocrisìa e omofobìa,
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Re: [Algebra commutativa] Due isomorfismi

Messaggioda dan95 » 19/05/2017, 17:47

$M$ è $ZZ$-modulo $\Rightarrow$ $M$ è abeliano $\Rightarrow$ $T(M)$ è abeliano $\Rightarrow$ $T(M)$ è $ZZ$-modulo


Ricordo che $T(M)=0 \Leftrightarrow M$ piatto in $ZZ$, inoltre $\text{Tor}_{n}^{ZZ}(M,N)=0$ per ogni $N$ e $n>0$ se $M$ piatto
Ultima modifica di dan95 il 20/05/2017, 13:07, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda j18eos » 20/05/2017, 10:24

Ah già: \(\displaystyle\mathbb{Z}\)-modulo e gruppo abeliano sono sinonimi; me lo dimentico sempre...
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Re: [Algebra commutativa] Due isomorfismi

Messaggioda killing_buddha » 20/05/2017, 12:10

dan95 ha scritto:$T(M)=0 \Leftrightarrow M$ piatto

Falso se l'anello non è locale
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Re: [Algebra omologica] Due isomorfismi

Messaggioda dan95 » 20/05/2017, 13:14

M lo intendo come $ZZ$-modulo
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Re: [Algebra omologica] Due isomorfismi

Messaggioda dan95 » 21/05/2017, 17:57

Soluzione 1
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Consideriamo la successione esatta
\begin{CD}
0 @>>> T(M) @>>> M @>>> M/T(M) @>>> 0
\end{CD}
Applicando il funtore $\text{Tor}_{n}^{\mathbb{Z}}$ e ricordando che $T(M//T(M))=0$ e quindi $M//T(M)$ è piatto, abbiamo
\begin{CD}
0=\text{Tor}_{2}^{\mathbb{Z}}(M/T(M)) @>>> \text{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(T(M),N) @>~>> \text{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M,N) @>>> \text{Tor}_{1}^{\mathbb{Z}}(M/T(M),N)=0
\end{CD}
Scambiando ora $N$ con $T(M)$ e $M$ con $N$ e ragionando analogamente a prima otteniamo la tesi
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