Non mi sembra la soluzione ottimale, comunque la scrivo lo stesso
Consideriamo la funzione
\[
h(x) := \begin{cases}
\frac{f(x) - f(a)}{x-a}, &\text{se}\ x\in (a, b],\\
f'(a), & \text{se}\ x = a.
\end{cases}
\]
Tale funzione è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b]$.
Osserviamo inoltre che la sua derivata è
\[
h'(x) = \frac{f'(x)(x-a) - (f(x) - f(a))}{(x-a)^2},
\qquad \forall x\in (a,b].
\]
Supponiamo, per assurdo, che la tesi non sia vera.
Questo implica, in particolare, che \(h'(x) \neq 0\) per ogni $x\in (a,b]$.
Per il teorema di Darboux avremo necessariamente che $h'$ ha segno costante in $(a, b]$, dunque che $h$ è una funzione strettamente monotona in $[a,b]$.
Supponiamo, per fissare le idee, che \(h'(x) > 0\) per ogni $x\in (a,b]$, cioè che
\[
f'(x) > \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = h(x) \qquad \forall x\in (a, b].
\]
In particolare, avremo che $f'(b) > h(b) > h(a) = f'(a)$, assurdo.