Convessità e unicità

[Dobrogost]

Dimostrare che è unica la soluzione del seguente problema:
\begin{align}u'(x)=F(u(x))\end{align}
Dove:
\begin{align}\int_{0}^{1}u(x)\,dx = 0\end{align}
e $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è una funzione strettamente convessa di classe $C^1$ che assume minimo in $0$ con $F(0)<0$

[Rigel]

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Dalle ipotesi su $F$ deduciamo che esistono \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\), \(\alpha < 0 < \beta\), tali che
\[
F(\alpha) = F(\beta) = 0,
\qquad
F(x) < 0\quad \forall x \in (\alpha, \beta).
\]
Poiché i problemi di Cauchy hanno unicità (essendo \(F\in C^1\)), le (eventuali) soluzioni \(u\) soddisfacenti \(\int_0^1 u = 0\) devono necessariamente soddisfare \(\alpha < u <\beta\).
Queste sono anche soluzioni globali (perché "incastrate" fra le due soluzioni costanti).

Detta \(v\) la soluzione del problema di Cauchy
\[
x' = F(x), \qquad x(0) = 0
\]
(che è una funzione definita su tutto \(\mathbb{R}\) e strettamente monotona decrescente), poiché l'equazione è autonoma tutte le altre soluzioni con grafico nella striscia \((\alpha, \beta)\) sono traslazioni di questa, ovvero sono del tipo
\[
v_\tau (x) := v(x+\tau)
\]
al variare di \(\tau\) in \(\mathbb{R}\).
D'altra parte, la funzione
\[
\varphi(\tau) := \int_0^1 v_\tau(x)\, dx = \int_{\tau}^{1+\tau} v(x) \, dx
\]
è continua e si ha
\[
\lim_{\tau\to -\infty} \varphi(\tau) = \beta < 0,
\qquad
\lim_{\tau\to +\infty} \varphi(\tau) = \alpha > 0,
\]
per cui ammette almeno uno zero.
Inoltre è strettamente monotona decrescente, poiché \(\varphi'(\tau) = v(1+\tau) - v(\tau) < 0\) per ogni \(\tau \in \mathbb{R}\), quindi questo zero è unico.