Salve a tutti,
a volte vado alla ricerca di semplici simmetrie sui numeri e regolarità apparentemente banali. Una di queste a cui oggi stavo pensando è che è certamente vero che: $8 = 2^3 < 3^2 = 9$. Mi sono subito chiesto se e cosa legava numeri interi vicini che si incrociano in tal modo su una funzione esponenziale fra numeri interi. Sono rimasto abbastanza colpito dal fatto che l'esempio che per caso mi era capitato considerare, era in realtà un'eccezione alla regola: infatti presi comunque $a$ e $b$ due interi positivi tali che se $2<a<b$ allora è sempre vero che $a^b > b^a$. Risulta infatti sempre verificato ad esclusione del caso suddetto ossia $a=2$ ma anche nel caso sia banalmente $a=1$ (in quest'ultimo caso difatti è evidente che per ogni $n$ maggiore o uguale a $2$ si ha che $1^n$ è sempre minore di $n^1$).
Qualcuno tra i più volenterosi che mi sta leggendo, sa come poter dimostrare algebricamente, senza far uso dei logaritmi, questo semplice teorema?
Grazie in anticipo.
Claudio.