Giusto per chiarire, $\omega (8) = 3$ o $1$? Credo la seconda, ma sai mai..
Comunque io non ho tirato in ballo Dirichlet, quindi non so se va bene:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il numeratore al LHS si scrive come:
$\sum_{n=1}^{\infty} frac{\omega(n)}{n^{s}} =$
$ frac{1}{1^s}+frac{1}{2^s}+frac{1}{3^s}+frac{1}{4^s}+ frac{1}{5^s}+ frac{2}{6^s}+ ... = frac{1}{1^s}+frac{1}{2^s}+frac{1}{3^s}+frac{1}{4^s}+ frac{1}{5^s}+ frac{1}{6^s}+frac{1}{6^s}+ ... = $
Raccogliendo:
$= ( \sum_{primi} ) + frac{1}{2^s} ( \sum_{primi} ) + frac{1}{3^s} ( \sum_{primi} ) + frac{1}{4^s} ( \sum_{primi} ) + ... $
Da cui la tesi (posso dire tutta sta roba fregandomene della convergenza? Mai guardata teoria dei numeri .-.)