Quiz facilissimo ma BELLISSIMO!

[Erasmus_First]

––> Testo del quiz

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[Erasmus_First]

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[spugna]

Provo a rompere il ghiaccio:

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$L=sum_(k=2)^(+oo) [\zeta(k)-1]=sum_(k=2)^(+oo) sum_(n=2)^(+oo) 1/n^k=sum_(n=2)^(+oo) sum_(k=2)^(+oo) 1/n^k=sum_(n=2)^(+oo) 1/(n^2-n)=sum_(n=2)^(+oo) (1/(n-1)-1/n)=1$

[Erasmus_First]

@spugna

Vedi che è proprio la serie geometrica che ti butta sulla facile serie di Mengoli.

Adesso che hai rotto il ghiaccio, prova a ricavare gli altri due limiti indipemdentemente dal sapere che il primo è 1.
Il giochino è ancora lo stesso (non proprio uguale ma sempre dello stesso tipo). Avrai ancora informazioni interessanti!
[Per esempio il rapporto tra la somma degli eccessi rispetto ad1 delle zeta ad argomento pari e la somma degli eccessi rispetto ad 1 delle zeta ad argomento dispari].

Quiz facilissimo perché basta commutare le somme e ... le voila, il gioco è fatto.
BELLISSIMO, non tanto perché collega tre serie speciali molto famose, ma perché dice qualcosa di nuovo ... e per me inaspettato.

Infatti, non si sa quanto valgono di preciso le ζ(2n+1) per n intero positivo ("zeta" con argomemto dispari maggiore di 1). E tuttavia si sa come si comporta la somma di tutte. Gli eccessi rispetto ad 1 sono tutti irrazionali; probabilissimamente anche tutti trascendenti – anche se per ora è stata dimostrata la trascendenza della sola ζ(3)–, ma la loro somma è un razionale facile-facile!
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