Nessuna unione numerabile di iperpiani di $\mathbb R^n$ può contenere un aperto non vuoto di $\mathbb R^n$.
Inviato:
31/07/2017, 14:16da killing_buddha
Nessuna unione numerabile di iperpiani di $\mathbb R^n$ può contenere un aperto non vuoto di $\mathbb R^n$.
La sfida è farlo senza il teorema di Baire.
Re: Nessuna unione numerabile di iperpiani di $\mathbb R^n$ può contenere un aperto non vuoto di $\mathbb R^n$.
Inviato:
31/07/2017, 19:42da dissonance
Niente, avevo letto male.
Re: Nessuna unione numerabile di iperpiani di $\mathbb R^n$ può contenere un aperto non vuoto di $\mathbb R^n$.
Inviato:
01/08/2017, 07:36da Rigel
Per ogni iperpiano della famiglia consideriamo un versore a esso ortogonale; indichiamo con \(V\) la famiglia di questi versori.
Poiché \(V\) è numerabile, esiste un versore \(w\in S^{n-1}\) tale che \(w\cdot v \neq 0\) per ogni \(v\in V\).
Di conseguenza, ogni retta del tipo \(r:\ x + w t\), \(t\in \mathbb{R}\), interseca ciascun iperpiano esattamente in un punto, dunque interseca l'unione \(U\) degli iperpiani in una famiglia numerabile di punti.
Questo chiaramente implica che \(U\) non possa contenere alcun aperto non vuoto.
Re: Nessuna unione numerabile di iperpiani di $\mathbb R^n$ può contenere un aperto non vuoto di $\mathbb R^n$.
Inviato:
01/08/2017, 23:11da killing_buddha
Sì; a me piace questo argomento: un insieme numerabile di iperpiani ha misura di Lebesgue nulla (è unione numerabile di insiemi di misura nulla), ma se contenesse un aperto dovrebbe contenere una palla di raggio $\epsilon$, ovvero avere misura $\ge\pi\epsilon^2 >0$.
