Serie con un parametro

Messaggioda j18eos » 04/08/2017, 19:20

Studiare la convergenza della serie:
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^{\alpha}
\]
al variare del parametro \(\displaystyle\alpha\in\mathbb{R}\).
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5930 di 13399
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, Trieste, ed ogni tanto a Roma ^_^

Re: Serie con un parametro

Messaggioda otta96 » 04/08/2017, 19:42

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Confronto il termine n-esimo con $b_n=(lnn/n)^\alpha$.
$(root(n)n-1)^\alpha/b_n=(e^(lnn/n)-1)^\alpha/b_n=((e^(lnn/n)-1)/(lnn/n))^\alpha$, dato che $lnn/n$ è infinitesimo per n che tende a $+\infty$, passando al limite nella relazione precedente, si ottiene $\lim_{n->+\infty} (root(n)n-1)^\alpha/b_n=1$ dunque per il criterio del confronto si ha che la serie data converge sse converge quella di termine generico $(lnn/n)^\alpha$, ovvero sse $\alpha>1$.
otta96
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 382 di 5748
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Messaggioda j18eos » 04/08/2017, 19:47

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Forse è un risultato noto, che io non conosco; ma ho passato l'intero pomeriggio solo per dimostrare il "sse \(\displaystyle\alpha>1\)"...

Sono curioso di leggere una dimostrazione più corta della mia!
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5932 di 13399
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, Trieste, ed ogni tanto a Roma ^_^

Re: Serie con un parametro

Messaggioda otta96 » 04/08/2017, 20:03

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se $\alpha>1$, $(lnn/n)^\alpha$ è un'o piccolo di $(1/n)^((\alpha+1)/2)$ per $n->+\infty$, quindi per confronto converge, per $\alpha<=1$, va più lentamente a 0 di $1/n^\alpha$ ($1/n^\alpha=o((lnn/n)^\alpha)$, quindi non può convergere.
otta96
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 384 di 5748
Iscritto il: 12/09/2015, 22:15

Messaggioda j18eos » 06/08/2017, 09:36

Rilancio: stimare la somma per \(\displaystyle\alpha>1\).
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5933 di 13399
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, Trieste, ed ogni tanto a Roma ^_^


Torna a Pensare un po' di più

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite