[Ipotesi di Riemann] Caccia all'errore...

[dan95]

Vi propongo questa dimostrazione della RH del sottoscritto (sbagliata) che si basa sull'ipotesi che un problema di Sturm-Liouville regolare ammette sempre autovalori reali. In parole povere, sia dato l'operatore
\begin{equation}
\mathcal{L}[u]=(p(x)u')'+q(x)u
\end{equation}
Con $p(x) \geq 0$ e $q(x)$ continue in un intervallo $[a,b]$, il problema di Sturm-Liouville associato a (1) con condizioni al bordo (SL-BCP) è dato da
\begin{cases}
\mathcal{L}[u]+\lambda^2w(x)u=0 \\
a_1u(a)+a_2p(a)u'(a)=0 \\
b_1u(b)+b_2p(b)u'(b)=0
\end{cases}
Con $w(x) \geq 0$ continua in $[a,b]$ e $a_{1,2}$ e $b_{1,2}$ reali tali che $a_1^2+a_2^2 \ne 0$ e $b_1^2+b_2^2 \ne 0$.

Def. (SL-BCP regolare) Un SL-BCP si dice regolare in $[a,b]$ se $p(x),w(x)>0$ per ogni $x \in [a,b]$

Oss. Se (SL-BCP) è regolare allora $\lambda^2$ è reale.

Prendiamo
\begin{equation}
\mathcal{L}=\frac{d^2}{dx^2}
\end{equation}
e $w(x)=1$, sia
\begin{equation}
u_{\lambda}(x)=2\int_{0}^{+\infty}\cos(\lambda(y+x))\Phi(x)dx
\end{equation}
con $\Phi(x)$ funzione "troppo lunga da scrivere", risulta che $u_{\lambda}(0)=\Xi(t)$ la funzione $\Xi$ di Riemann, l'ipotesi di Riemann afferma che questa funzione ha solo zeri reali. Ora SL-BCP associato a (2) nell'intervallo $[0,1]$ con soluzione (3) è dato da
\begin{cases}
\mathcal{L}[u]+\lambda^2u=0 \\
u_{\lambda}(0)=0 \\
u(1)+\frac{\tan(\lambda)}{\lambda}u'(1)=0
\end{cases}
che è regolare e dunque $\lambda^2$ è reale. Fine.

[dan95]

L'errore sta nella seconda condizione al bordo dove compare $\tan(\lambda)/\lambda$, i coefficienti devono essere reali. Ci mettiamo quindi in una situazione tautologica.