[Teoria dei fasci] Esercizio

[dan95]

Sia $k$ algebricamente chiuso. Prendiamo $X:=\mathbb{P}^1(k)$ con la topologia di Zariski, consideriamo per ogni punto $p \in X$ l'inclusione $i_{p} \hookrightarrow X$, sia inoltre $\mathbb{Z}_p$ il fascio che manda $p$ nell'anello $\mathbb{Z}$ e $i_{p \ast}\mathbb{Z}_{p}$ il fascio che associa ad ogni aperto $U$ l'anello $\mathbb{Z}_{p}(i^{-1}(U))$, $\mathbb{Z}_{p}(O/)=0$, dunque si ha

$i_{p \ast}\mathbb{Z}_{p}(U)={(\mathbb{Z},p \in U),(0,p\in U^{c}):}$

Dimostrare che per ogni $U \sube X$ aperto
$(oplus_{p \in X} i_{p \ast}\mathbb{Z}_{p})(U)=oplus_{p \in U} \mathbb{Z}$

[killing_buddha]

Sembra un caso particolare della risoluzione di Godement del fascio \(\mathbb{Z}_p\) (che altrove si chiama fascio grattacielo). Solo che lì avresti avuto il prodotto, non il coprodotto

(PS: la categoria degli anelli unitari non ha un oggetto terminale)
(PPS: non è necessario prendere $\mathbb P^1$, questa cosa è vera per ogni spazio topologico, avendo cura di definire bene il fascio grattacielo).

[dan95]

la categoria degli anelli unitari non ha un oggetto terminale

Giusto, sorry...

[killing_buddha]

C'è qualcosa che non va in questo esercizio: se $V\subseteq U$ non hai delle restrizioni canoniche $\oplus_{p\in U} \mathbb Z \to \oplus_{p\in V} \mathbb Z$, quanto piuttosto un'immersione $\oplus_{p\in V} \mathbb Z \to \oplus_{p\in U} \mathbb Z$.

Sei sicuro che l'isomorfismo non sia col prodotto (e allora le restrizioni sono proiezioni che dimenticano \(\prod_{p\in U\setminus V} \mathbb Z\) )? Questo collimerebbe anche con la definizione di risoluzione di Godement...

[dan95]

Se dotiamo $U$ della topologia cofinita, per ogni $V \sube U$ aperto non vuoto $U-V$ è finito.

Se dico corbellerie perdonami, sono alle prime armi (un sasso).

[killing_buddha]

La topologia è quella di Zarisky, per ogni $V \sube U$ aperto $U-V$ è finito.

Se dico corbellerie perdonami, sono alle prime armi (un sasso).

Non mi pare che una coppia di aperti di Zariski in \(\mathbb{P}^1(\mathbb C)\) abbia questa proprietà (interseca i domini delle due carte dell'atlante ovvio).

La topologia di Zariski coincide con la topologia cofinita su $\mathbb R$, perché lì i chiusi, essendo luoghi di zeri di polinomi, devono essere insiemi finiti.

[dan95]

Allora non saprei l'esercizio chiede la somma...

p.s. ZARISKI*

[dan95]

Però se dotiamo $U$ non vuoto della topologia cofinita vale

[killing_buddha]

E se mio nonno avesse tre palle...
Per quale motivo ti sta tanto a cuore con la topologia cofinita?

[killing_buddha]

Allora non saprei l'esercizio chiede la somma...

p.s. ZARISKI*

Come ti ho detto, il fatto è che con la somma, quello che ottieni a destra dell'uguale non è nemmeno un prefascio (perché è covariante).