EDO ed esistenza della soluzione

Messaggioda Dobrogost » 13/08/2017, 10:24

Si consideri il seguente problema di Cauchy:

\begin{align}
y' = y^2 + t^2, \mbox{ } y(0)=1
\end{align}

$1.$ Dimostrare che esiste $b>0$ tale che il problema ha una soluzione per $t$ in $[0, b]$.
$2.$ Fornire un tale $b$.
$3.$ Fornire un $c$ tale che la soluzione non esiste in $[0,c]$
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Re: EDO ed esistenza della soluzione

Messaggioda dan95 » 28/08/2017, 14:51

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mi pare che (salvo errori) una soluzione sia
\begin{equation}
y(t)=\frac{1}{1-t}+\frac{t^3}{3}
\end{equation}
Faccia al caso nostro, per $0<b<1$ è almeno di classe $C^1([0,b])$.
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

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Re: EDO ed esistenza della soluzione

Messaggioda dissonance » 28/08/2017, 15:03

@dan:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Purtroppo mi sa di no, ho dato tutto in pasto a Maple e trovo che
\[
y'-y^2-t^2 = -\frac{1}{9}\,{\frac {{t}^{3} \left( {t}^{4}-{t}^{3}-6 \right) }{-1+t}}\ne 0\]
dissonance
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Re: EDO ed esistenza della soluzione

Messaggioda dan95 » 28/08/2017, 15:05

Sì infatti ho contato male... :-D c'è un $t$ di troppo
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Re: EDO ed esistenza della soluzione

Messaggioda dan95 » 28/08/2017, 15:24

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Chiaramente dalle ipotesi e dalla definizione si ricava che $y'>0$ ovvero la soluzione è crescente e quindi dalle condizioni imposte che $y(t) \geq 1$. Ora non mi vengono in mente manipolazioni ma è possibile far vedere che $y'=\Omega(\frac{1}{(1-t)^2})$, perché $y'=y^2+t^2 \geq y^2$ dunque necessariamente $b<1$.
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Re: EDO ed esistenza della soluzione

Messaggioda Rigel » 29/08/2017, 10:25

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per rispondere alle domande 1 e 2 basta il classico teorema di esistenza e unicità in ipotesi di locale Lipschitzianità.

Per la domanda 3, è sufficiente osservare che la soluzione massimale $y$ del problema soddisfa, nel suo intervallo di definizione $[0,T)$, la disuguaglianza $y(t) \geq z(t)$, dove $z$ è la soluzione del PdC
\[
z' = z^2, \qquad z(0) = 1.
\]
Poiché tale soluzione (in avanti nel tempo) è $z(t) = 1/(1-t)$, $t \in [0,1)$, ne segue che $y$ esplode prima del tempo $c=1$.
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