Probemino

[otta96]

\[A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x,y\geq 0,\ x^{2/3}+y^{2/3}\leq 1\} \cup A_0\]

Come si fa a dimostrare questa cosa? E comunque quindi non c'è nessuno che lo sa risolvere il problemone?

[dissonance]

quindi non c'è nessuno che lo sa risolvere il problemone?

Non mi è piaciuta molto questa risposta. Invece di lamentarti, credo faresti meglio a riconoscere che il post di Gugo rappresenta un progresso.

Ho fatto alcuni disegni con un software di calcolo, che confermano la correttezza del suo risultato. È sufficiente disegnare la curva \(C:\ x^{\frac23} + y^\frac23=1\) e, usando l'equazione
\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{\sqrt{1-a^2}} =1, \quad 0\le a \le 1,\]
che parametrizza i segmenti di lunghezza \(1\) con estremi sui semiassi positivi, verificare che tutti tali segmenti sono tangenti a \(C\). In effetti, \(C\) è l'inviluppo di tale famiglia di segmenti.




P.S.: https://it.wikipedia.org/wiki/Inviluppo_(matematica)
Qui si parla proprio di questa costruzione.

[gugo82]

Grazie dissonance per la conferma.
Tra le altre cose, leggendo in rete ho scoperto che la caratterizzazione dell'astroide come inviluppo di segmenti di fissata lunghezza con estremi mobili lungo gli assi è davvero molto classica.

Si potrebbe cercare di capire cosa succede per $A_2$, che dovrebbe essere la regione interna all'inviluppo di segmenti con lunghezza unitaria ed estremi che si muovono sulla frontiera di $A_1$... Farlo a mano credo sia possibile, ma saranno contazzi pallosi assai.

[gugo82]

\[A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x,y\geq 0,\ x^{2/3}+y^{2/3}\leq 1\} \cup A_0\]

Come si fa a dimostrare questa cosa?

L'intuizione geometrica ti dice che i segmenti di lunghezza unitaria con estremi sugli assi spazzano o gli assi stessi (quando entrambi gli estremi sono sullo stesso asse) oppure una regione contenuta nel triangolo con vertici $O$, $A=(1,0)$ e $B=(0,1)$ (quando gli estremi sono su assi diversi), la quale è delimitata da una curva che ha in comune con ogni segmenti mobile al più un punto nel quale la curva risulta tangente al segmento stesso.
Fissiamo allora due punti mobili $(x_1,0)$ e $(0,y_2)$, con $x_1,y_2>0$, che sono gli estremi di un segmento di lunghezza unitaria: in tali ipotesi si ha $x_1^2+y_2^2=1$ e perciò esiste un unico $0<theta<pi/2$ tale che $x_1=cos theta, y_2=sin theta$, ragion per cui l'equazione del(la retta su cui giace il) segmento è:
\[
\sin\theta\ x -\cos\theta\ y- \sin\theta\ \cos\theta =0\; .
\]
L'equazione della curva detta sopra si trova derivando la precedente equazione rispetto a $theta$ e risolvendo il sistema che si ottiene mettendo insieme le due equazioni ottenute:
\[
\begin{cases}
\sin\theta\ x -\cos\theta\ y- \sin\theta\ \cos\theta =0\\
\cos\theta\ x +\sin\theta\ y+\sin^2\theta - \cos^2\theta =0
\end{cases}
\]
da cui si ottiene:
\[
\begin{cases}
x=\cos^3 \theta\\
y=\sin^3 \theta
\end{cases}
\]
che sono le equazioni parametriche dell'astroide.
L'equazione cartesiana si ottiene sfruttando la relazione fondamentale della trigonometria.

[otta96]

Scusate se rispondo solo ora alle vostre risposte (a proposito grazie per le risposte), ma sono stato impegnato...
@dissonance mi dispiace che il mio messaggio sia sembrato un lamento, ma l'avevo scritto con l'intento di riaccendere la discussione, per quanto riguarda il commento fatto da gugo82, io lo considero senz'altro un progresso, e anche interessante, infatti non a caso gli ho chiesto come ci si poteva arrivare.
@gugo82 ho letto i tuoi messaggi con interesse, solo che ci sono un paio di cose che hai scritto su cui volevo chiederti chiarimenti. La prima questione è: mi puoi spiegare più in dettaglio questa frase?

L'equazione della curva detta sopra si trova derivando la precedente equazione rispetto a $theta$ e risolvendo il sistema che si ottiene mettendo insieme le due equazioni ottenute:

Non ho proprio capito perché questo sistema porta all'equazione della curva.
Però, ho controllato anche tutti i calcoli, ma a me la soluzione torna un po' diversa, mi torna $y=-sen^3(\theta)$, ho provato anche a controllare con wolframalpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... tem:+sen(a)x-cos(a)y-sen(a)cos(a)%3D0;+cos(a)x%2Bsen(a)y%2Bsen(a)%5E2-cos(a)%5E2%3D0 (ho notato che il link non lo prende bene, se volete guardare dovete fare copia-incolla) che è in accordo con il mio risultato, mi dici dove sbaglio?

[orsoulx]

A mio avviso gugo ha, banalmente, invertito il segno di $ cos \theta $ ( oppure l'intervallo, che dovrebbe diventare $ -\pi/2< \theta < 0 $).
Ciao

[dissonance]

https://youtu.be/IM-n9c-ARHU?t=6m46s

Qui appare praticamente lo stesso disegno, nel contesto del problema di Kakeya. Alla fine ecco che emerge una connessione precisa tra i due problemi. Questo però ha probabilmente una soluzione più semplice (io sono convinto che \(A_\infty = [0, \infty) \times [0, \infty)\)).

[otta96]

https://youtu.be/IM-n9c-ARHU?t=6m46s

Qui appare praticamente lo stesso disegno, nel contesto del problema di Kakeya.

Ganzo!

Alla fine ecco che emerge una connessione precisa tra i due problemi.

Dici quando sbuca l'epicicloide? Anche se un in caso è "triangolare", e nell'altro "quadrato"?

[dissonance]

Dici quando sbuca l'epicicloide? Anche se un in caso è "triangolare", e nell'altro "quadrato"?

Si, in effetti non è proprio la stessa cosa, ma sono disegni simili.

[otta96]

Ho posto questo problema ad un mio amico, che è riuscito a risolvere, però non so come fare a scrivere la dimostrazione perché è molto lunga e complicata.