Re: Probemino

Messaggioda dissonance » 12/10/2017, 19:24

La dimostrazione di cosa? Scrivi almeno il solo enunciato
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Re: Probemino

Messaggioda otta96 » 12/10/2017, 19:42

dissonance ha scritto:La dimostrazione di cosa? Scrivi almeno il solo enunciato

$A_\omega=A$.
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Re: Probemino

Messaggioda dissonance » 12/10/2017, 21:30

Perché usi \(\omega\) invece di \(\infty\) ?
---

RICAPITOLO: Si denota
\[
A=[0, \infty)\times [0, \infty), \]
e si definisce una successione di sottoinsiemi di \(A\) per ricorrenza come segue:
\[
A_{n+1}=\{ \text{segmenti di lunghezza 1 aventi estremi in }A_n\}.\]
Il problema è trovare il limite della successione avente per dato iniziale \(A_0=\{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}\). Gugo ha calcolato esplicitamente \(A_1\) e c'era la congettura che \(A_\infty =A\).
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Re: Probemino

Messaggioda otta96 » 12/10/2017, 22:00

Uso $A_\omega$ invece di $A_\infty$ perché in linea di principio potrei continuare anche dopo l'infinito su tutti gli ordinali, cosa che non si capisce molto (secondo me) con la notazione $A_\infty$, ma ora non ha più senso continuare ad usarla, tutto sommato.

dissonance ha scritto:RICAPITOLO: Si denota
\[
A=[0, \infty)\times [0, \infty), \]
e si definisce una successione di sottoinsiemi di \(A\) per ricorrenza come segue:
\[
A_{n+1}=\{ \text{segmenti di lunghezza 1 aventi estremi in }A_n\}.\]
Il problema è trovare il limite della successione avente per dato iniziale \(A_0=\{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}\). Gugo ha calcolato esplicitamente \(A_1\) e c'era la congettura che \(A_\infty =A\).

Hai ricapitolato bene.
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Re: Probemino

Messaggioda G.D. » 13/10/2017, 04:56

otta96 ha scritto:Ho posto questo problema ad un mio amico, che è riuscito a risolvere, però non so come fare a scrivere la dimostrazione perché è molto lunga e complicata.


Inizia a scrivere! :lol:

Io personalmente non ho fretta e penso nemmeno gli altri.
Comincia a scrivere: un pezzo oggi, un pezzo domani. Prima o poi arriverai ad aver scritto tutto.

P.S.
C'è un errore nel titolo del topic: manca una "l" tra la "b" e la "e".
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"Eliminato l'impossibile, ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità"
"No! Provare no! Fare. O non fare. Non c'è provare!"
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Re: Probemino

Messaggioda dan95 » 13/10/2017, 08:33

Scrivi intanto in spoiler naturalmente l'insieme limite che è venuto al tuo amico, in modo che i presenti possano smentirlo o dimostrarlo
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
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Re: Problemino

Messaggioda otta96 » 13/10/2017, 18:45

G.D. ha scritto:P.S.
C'è un errore nel titolo del topic: manca una "l" tra la "b" e la "e".

Oddio, non riesco a credere di non essermene accorto in tutto questo tempo...
Grazie per avermelo detto!

EDIT: Purtroppo però ormai non me lo fa modificare.
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Re: Probemino

Messaggioda otta96 » 14/10/2017, 18:25

Comunque visto che me l'avete richiesto in tanti, lo scriverò via via, in modo da riuscire a finire prima o poi.
Cominciamo subito: dimostriamo che $A_\infty$ è tale che $\Phi(A_\infty)=A_\infty$.
Prendiamo $x,y\inA_\infty$ con $||x-y||=1$, per definizione di $A_\infty$, $EEn,m\inNN:x\inA_n,y\inA_m$, visto che $A_n\subA_m$ se $n<=m$ (vi va bene se questo lo consideriamo evidente?) quindi posso supporre $x,y\inA_n$, adesso, ogni punto che sta nel segmento di estremi $x$ e $y$ sta in $A_(n+1)\subA_\infty$, da cui la tesi.
Che ne pensate?
A dire la verità nella dimostrazione del mio amico mancherebbe una cosa che ancora non siamo riusciti a mettere a posto, ma è una cosa talmente evidente che dubito sia un problema troppo grosso, cioè che gli insiemi del tipo $A\setminusA_n$ è convesso, se qualcuno nel frattempo volesse cimentarsi in questa cosa sarebbe gradito.
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Re: Probemino

Messaggioda dissonance » 14/10/2017, 19:16

Immagino che \(\Phi\) sia l'operatore
\[
\Phi(B)=\{\text{segmenti di lunghezza 1 con estremi in } B\}.\]
Il fatto che \(\Phi(A_\infty)=A_\infty\) è vero e la dimostrazione va bene. NOTA: La successione \(A_n\) è data da
\[
\begin{cases} A_{n+1}=\Phi(A_n) \\ A_0= \{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}.
\end{cases}\]
(Il fatto che \(A_\infty=\Phi(A_\infty)\) si può anche vedere direttamente da qui).
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Re: Probemino

Messaggioda otta96 » 14/10/2017, 19:18

dissonance ha scritto:(Il fatto che \(A_\infty=\Phi(A_\infty)\) si può anche vedere direttamente da qui).

Davvero? Come?
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