otta96 ha scritto:gugo82 ha scritto:\[A_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x,y\geq 0,\ x^{2/3}+y^{2/3}\leq 1\} \cup A_0\]
Come si fa a dimostrare questa cosa?
L'intuizione geometrica ti dice che i segmenti di lunghezza unitaria con estremi sugli assi spazzano o gli assi stessi (quando entrambi gli estremi sono sullo stesso asse) oppure una regione contenuta nel triangolo con vertici $O$, $A=(1,0)$ e $B=(0,1)$ (quando gli estremi sono su assi diversi), la quale è delimitata da una curva che ha in comune con ogni segmenti mobile al più un punto nel quale la curva risulta tangente al segmento stesso.
Fissiamo allora due punti mobili $(x_1,0)$ e $(0,y_2)$, con $x_1,y_2>0$, che sono gli estremi di un segmento di lunghezza unitaria: in tali ipotesi si ha $x_1^2+y_2^2=1$ e perciò esiste un unico $0<theta<pi/2$ tale che $x_1=cos theta, y_2=sin theta$, ragion per cui l'equazione del(la retta su cui giace il) segmento è:
\[
\sin\theta\ x -\cos\theta\ y- \sin\theta\ \cos\theta =0\; .
\]
L'equazione della curva detta sopra si trova derivando la precedente equazione rispetto a $theta$ e risolvendo il sistema che si ottiene mettendo insieme le due equazioni ottenute:
\[
\begin{cases}
\sin\theta\ x -\cos\theta\ y- \sin\theta\ \cos\theta =0\\
\cos\theta\ x +\sin\theta\ y+\sin^2\theta - \cos^2\theta =0
\end{cases}
\]
da cui si ottiene:
\[
\begin{cases}
x=\cos^3 \theta\\
y=\sin^3 \theta
\end{cases}
\]
che sono le equazioni parametriche dell'astroide.
L'equazione cartesiana si ottiene sfruttando la relazione fondamentale della trigonometria.