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Dim. Supponiamo $M$ orientabile, dalla dualità di Poincaré abbiamo che $H_{c}^{0}(M)^{\ast} \cong H^{n}(M)$, poiché $M$ è compatta e connessa $\mathbb{R} \cong H_{c}^{0}(M) \cong H^{n}(M) \ne 0$.
Viceversa, sia $H^{n}(M) \ne 0$ e supponiamo per assurdo che $M$ non sia orientabile. Consideriamo il rivestimento orientabile a due fogli $\pi: \bar{M} \mapsto M$ e sia $A: \bar{M} \mapsto \bar{M}$ un automorfismo del rivestimento che cambia l'orientazione. Mostriamo che $\pi^{\ast} : H^{•}(M) \mapsto H^{•}(\bar{M})$ è iniettiva, infatti sia $[\omega]$ tale che $\pi^{\ast}[\omega]=0$, ovvero a livello delle forme esiste $\eta \in \Omega^{•-1}(\bar{M})$ tale che $\pi^{\ast}\omega=d\eta$, definiamo $\tilde{\eta}=\frac{1}{2}(\eta+A^{\ast}\eta)$, risulta che $A^{\ast}\tilde{\eta}=\tilde{\eta}$ allora esiste $\tilde{\omega} \in \Omega^{•-1}(M)$ (risultato dato per noto) tale che $\pi^{\ast}\tilde{\omega}=\tilde{\eta}$, d'altra parte $A^{\ast}\pi^{\ast}=\pi^{\ast}$ quindi $\pi^{\ast}\omega=d\tilde{\eta}$ e dunque per l'iniettività di $\pi^{\ast}$ a livello delle forme (altro risultato dato per noto) risulta $d\tilde{omega}=\omega$. Poiché $M$ è compatta anche $\bar{M}$ è compatta, essendo inoltre orientabile con orientazione $[\bar{M}]$, l'applicazione lineare
\begin{equation}
\int_{[\bar{M}]}: H^{•}(\bar{M}) \mapsto H^{•}(\bar{M})^{\ast}
\end{equation}
definita come $[\omega] \mapsto \int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega$ è un isomorfismo. D'altra parte l'applicazione cambia l'orientazione quindi si ha per ogni $\omega \in \Omega(\bar{M})$
\begin{equation}
\int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega=-\int_{[\bar{M}]}A^{\ast}\pi^{\ast}\omega=-\int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega
\end{equation}
Da cui $\int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega=0$, essendo un isomorfismo $H^{•}(\bar{M})=0$ e dunque per l'iniettività di $\pi^{\ast}$ anche $H^{•}(M)=0$, assurdo.
Viceversa, sia $H^{n}(M) \ne 0$ e supponiamo per assurdo che $M$ non sia orientabile. Consideriamo il rivestimento orientabile a due fogli $\pi: \bar{M} \mapsto M$ e sia $A: \bar{M} \mapsto \bar{M}$ un automorfismo del rivestimento che cambia l'orientazione. Mostriamo che $\pi^{\ast} : H^{•}(M) \mapsto H^{•}(\bar{M})$ è iniettiva, infatti sia $[\omega]$ tale che $\pi^{\ast}[\omega]=0$, ovvero a livello delle forme esiste $\eta \in \Omega^{•-1}(\bar{M})$ tale che $\pi^{\ast}\omega=d\eta$, definiamo $\tilde{\eta}=\frac{1}{2}(\eta+A^{\ast}\eta)$, risulta che $A^{\ast}\tilde{\eta}=\tilde{\eta}$ allora esiste $\tilde{\omega} \in \Omega^{•-1}(M)$ (risultato dato per noto) tale che $\pi^{\ast}\tilde{\omega}=\tilde{\eta}$, d'altra parte $A^{\ast}\pi^{\ast}=\pi^{\ast}$ quindi $\pi^{\ast}\omega=d\tilde{\eta}$ e dunque per l'iniettività di $\pi^{\ast}$ a livello delle forme (altro risultato dato per noto) risulta $d\tilde{omega}=\omega$. Poiché $M$ è compatta anche $\bar{M}$ è compatta, essendo inoltre orientabile con orientazione $[\bar{M}]$, l'applicazione lineare
\begin{equation}
\int_{[\bar{M}]}: H^{•}(\bar{M}) \mapsto H^{•}(\bar{M})^{\ast}
\end{equation}
definita come $[\omega] \mapsto \int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega$ è un isomorfismo. D'altra parte l'applicazione cambia l'orientazione quindi si ha per ogni $\omega \in \Omega(\bar{M})$
\begin{equation}
\int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega=-\int_{[\bar{M}]}A^{\ast}\pi^{\ast}\omega=-\int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega
\end{equation}
Da cui $\int_{[\bar{M}]}\pi^{\ast}\omega=0$, essendo un isomorfismo $H^{•}(\bar{M})=0$ e dunque per l'iniettività di $\pi^{\ast}$ anche $H^{•}(M)=0$, assurdo.
Lemma. Risulta $H^{n-1}(S^{n-1}) \cong H^{n}(S^{n})$ .
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Dim. Una semplice applicazione della successione di Mayer-Vietoris.
Lemma. $H^{1}(S^1) \ne 0$.
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Dim. Consideriamo l'applicazione iniettiva $i : S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$, considero ora la 1-forma differenziale $\omega=x_2dx_1-x_1dx_2$ su $\mathbb{R}^2$, questa definisce una forma differenziale chiusa $i^{\ast}\omega$ ma non esatta su $S^1$ e quindi una classe non banale di $H^{1}(S^1)$.
Teorema $S^{n}$ è orientabile.
Dim. Conseguenza immediata dei due lemma e del teorema.
Edit: È possibile dimostrare anche l'orientabilità di $\mathbb{P}^{n}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ per $n$ dispari e pari rispettivamente. Chiaramente...
- Per semplificare la notazione poniamo $H^{•}=H_{DR}^{•}$. ↑
