Estensione Globale mappa inversa

[federico96]

Buongiorno ragazzi, magari è una stupidaggine ma chiedo comunque...
Volevo chiedere se era vero che se una funzione è invertibile localmente in ogni punto del suo dominio allora è invertibile.
Federico

[dan95]

Se ci sono ipotesi di continuità, un controesempio è una varietà differenziabile con atlanti che possiedono almeno due carte locali.

[federico96]

Ci ho pensato e credo che la cosa sia falsa..una funzione costante in {0,1} è localmente invertibile ma non globalmente su {0,1}.

[Dobrogost]

Credo possa interessare il th di Hadamard Caccioppoli (teorema 2.3):

http://preprints.sissa.it/xmlui/bitstre ... sequence=2

In particolare, un corollario di questo teorema è che:

Sia $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una funzione di classe $C^1$ tale che $det(f'(x)) \ne 0 \forall x \in \mathbb{R}^n$ e $|f(x)| \to \infty$ se $|x| \to \infty$. Allora $f$ è un omeomorfismo da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ e, in particolare, l'equazione $y=f(x)$ ammette una e una sola soluzione $\forall y \in \mathbb{R}^n$

[federico96]

Grazie Mille!!

[dissonance]

Molto più semplicemente, basta considerare la funzione esponenziale
\[
\exp\colon \mathbb C\to \mathbb C\setminus\{0\}.\]
Essa è invertibile localmente intorno ad ogni punto ma non è invertibile globalmente.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Sempre meglio rispondere con un esempio concreto, piuttosto che invocare teoremi, specie se poco conosciuti.