L'algebra tensoriale di un anello differenziale è un anello differenziale?

Messaggioda killing_buddha » 14/09/2017, 08:23

La domanda nasce da qui.

$A$ sia un anello commutativo e unitario. Supponiamo che $V$ sia un $A$-algebra differenziale: significa che su $V$ c'è una struttura di $A$-modulo, che è anche un anello, e su $V$ esiste una funzione $d : V \to V$ che è lineare e soddisfa la regola di Leibniz. L'esempio standard di questo aggeggio è $K(X)$, il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi su $K$, con la derivazione data da $dX=1$. Bastano in effetti i polinomi $K[X]$, e infatti sarò abbastanza sloppy nell'usare questi due esempi (polinomi e funzioni razionali) in modo intercambiabile.
Per $d$ la derivazione standard sui polinomi, è un fatto che il nucleo di $d$ sia fatto esattamente dai polinomi di grado 0 (non è un fatto analitico: è conseguenza della regola di Leibniz!), e che l'azione di $d$ sia determinata univocamente da ciò che fa su $X$ (ancora regola di Leibniz per induzione sul grado: $d$ è lineare, quindi è determinata da ciò che fa ai monomi $X^n$, e Leibniz impone che $d(X^n)=n d(X) X^{n-1}$.

Ora, consideriamo l'algebra tensoriale su $V$, ovvero la somma diretta \( \bigoplus_{n\ge 0} V^{\otimes n}\). E' un fatto generale che questo $A$-modulo sia un'$A$-algebra (graduata), dove l'operazione di prodotto è data su elementi omogenei di grado $n$ dalla regola $u\cdot v = u\otimes v$.

E' vero o no che \(T^*V\) diventa naturalmente un'algebra differenziale?

E' evidente che, se sì, una tale derivazione \(d^\otimes\) deve essere fissata da un certo numero di proprietà:
  • $d^\otimes$ è definita da ciò che fa ai monomi di grado $n$, ovvero dall'azione su \(x_1\otimes \dots \otimes x_n\) (in maniera analoga la derivazione standard su $K(X)$ è definita da ciò che fa ad $X$, perché poi Leibniz e linearità fissano univocamente cosa fa $d$ ai monomi e ai polinomi (volendo si può estendere alle serie formali, non lo faccio perché tanto ci capiamo).
  • Essendo l'operazione di anello su \(T^*V\) definita da $\otimes$, $d^\otimes$ deve essera tale per cui
    \[
    d(u\otimes v) = (du)\otimes v + u\otimes (dv)
    \]
  • Il problema è in effetti che l'anello su cui si vuole imporre una struttura differenziale, qui, è altamente non commutativo: penso che questo sia un problema relativamente a trovare una formula per la regola di Leibniz che funzioni davvero, e relativamente al problema di trovare un'espressione esplicita per
    \[
    d(v_1 \otimes \cdots \otimes v_n) = \sum_{k=1}^n v_1 \otimes \cdots \otimes dv_k \otimes \cdots \otimes v_n
    \]
Le idee per fare questa cosa in maniera intrinseca sono bene accette (soprattutto per dare una risposta elegante al thread linkato all'inizio). Ci sono comunque alcune cose che non mi sono del tutto chiare:

  • E' vero che $d^\otimes$ è un omomorfismo di grado $-1$, con ciò intendendo che $d(T^nV)\subseteq T^{n-1}V$? Provando a vedere cosa succede nel caso dei polinomi è un casino tenere distinti il grado di un polinomio dal grado del tensore ottenuto $\otimes$-ando tra loro $n$ polinomi distinti di gradi $k_1,...,k_n$. La derivazione standard su $K(X)$ ad esempio è definita su un oggetto che è isomorfo a $K^{(\mathbb N)}$, e del resto non lo è in quanto algebra differenziale ($d$ è definita in maniera non banale su \(\{\alpha X \mid \alpha \in K\} = V_1\), e se fosse determinata da ciò che fa su $K$ sarebbe costantemente zero).
  • ...questo mi porta a pensare che in effetti sia irragionevole supporre che $d^\otimes$ sia determinata univocamente da ciò che fa ai generatori dell'algebra, e rende il problema più difficile da inquadrare.
  • Mi sembra invece una richiesta ragionevole che sui tensori simmetrici $d^\otimes$ si comporti in maniera simile a ciò che fa la derivazione standard sull'anello / campo dei polinomi / funzioni razionali. Nel caso di $V = K[X]$ e dei tensori simmetrici in \(T^*V\), quest'ultima algebra è isomorfa all'anello dei polinomi in un infinità numerabile di variabili -perché tale è la cardinalità di una base di $V$ come $K$-modulo), quindi è ragionevole aspettarsi che in quel caso $d^\otimes : K[T_1,...,T_n,...] \to K[T_1,...,T_n,...]$ si comporti come una combinazione delle derivate parziali $\frac{\partial}{\partial T_i}$.
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