$A$ sia un anello commutativo e unitario. Supponiamo che $V$ sia un $A$-algebra differenziale: significa che su $V$ c'è una struttura di $A$-modulo, che è anche un anello, e su $V$ esiste una funzione $d : V \to V$ che è lineare e soddisfa la regola di Leibniz. L'esempio standard di questo aggeggio è $K(X)$, il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi su $K$, con la derivazione data da $dX=1$. Bastano in effetti i polinomi $K[X]$, e infatti sarò abbastanza sloppy nell'usare questi due esempi (polinomi e funzioni razionali) in modo intercambiabile.
Per $d$ la derivazione standard sui polinomi, è un fatto che il nucleo di $d$ sia fatto esattamente dai polinomi di grado 0 (non è un fatto analitico: è conseguenza della regola di Leibniz!), e che l'azione di $d$ sia determinata univocamente da ciò che fa su $X$ (ancora regola di Leibniz per induzione sul grado: $d$ è lineare, quindi è determinata da ciò che fa ai monomi $X^n$, e Leibniz impone che $d(X^n)=n d(X) X^{n-1}$.
Ora, consideriamo l'algebra tensoriale su $V$, ovvero la somma diretta \( \bigoplus_{n\ge 0} V^{\otimes n}\). E' un fatto generale che questo $A$-modulo sia un'$A$-algebra (graduata), dove l'operazione di prodotto è data su elementi omogenei di grado $n$ dalla regola $u\cdot v = u\otimes v$.
E' vero o no che \(T^*V\) diventa naturalmente un'algebra differenziale?
E' evidente che, se sì, una tale derivazione \(d^\otimes\) deve essere fissata da un certo numero di proprietà:
- $d^\otimes$ è definita da ciò che fa ai monomi di grado $n$, ovvero dall'azione su \(x_1\otimes \dots \otimes x_n\) (in maniera analoga la derivazione standard su $K(X)$ è definita da ciò che fa ad $X$, perché poi Leibniz e linearità fissano univocamente cosa fa $d$ ai monomi e ai polinomi (volendo si può estendere alle serie formali, non lo faccio perché tanto ci capiamo).
- Essendo l'operazione di anello su \(T^*V\) definita da $\otimes$, $d^\otimes$ deve essera tale per cui
\[
d(u\otimes v) = (du)\otimes v + u\otimes (dv)
\] - Il problema è in effetti che l'anello su cui si vuole imporre una struttura differenziale, qui, è altamente non commutativo: penso che questo sia un problema relativamente a trovare una formula per la regola di Leibniz che funzioni davvero, e relativamente al problema di trovare un'espressione esplicita per
\[
d(v_1 \otimes \cdots \otimes v_n) = \sum_{k=1}^n v_1 \otimes \cdots \otimes dv_k \otimes \cdots \otimes v_n
\]
- E' vero che $d^\otimes$ è un omomorfismo di grado $-1$, con ciò intendendo che $d(T^nV)\subseteq T^{n-1}V$? Provando a vedere cosa succede nel caso dei polinomi è un casino tenere distinti il grado di un polinomio dal grado del tensore ottenuto $\otimes$-ando tra loro $n$ polinomi distinti di gradi $k_1,...,k_n$. La derivazione standard su $K(X)$ ad esempio è definita su un oggetto che è isomorfo a $K^{(\mathbb N)}$, e del resto non lo è in quanto algebra differenziale ($d$ è definita in maniera non banale su \(\{\alpha X \mid \alpha \in K\} = V_1\), e se fosse determinata da ciò che fa su $K$ sarebbe costantemente zero).
- ...questo mi porta a pensare che in effetti sia irragionevole supporre che $d^\otimes$ sia determinata univocamente da ciò che fa ai generatori dell'algebra, e rende il problema più difficile da inquadrare.
- Mi sembra invece una richiesta ragionevole che sui tensori simmetrici $d^\otimes$ si comporti in maniera simile a ciò che fa la derivazione standard sull'anello / campo dei polinomi / funzioni razionali. Nel caso di $V = K[X]$ e dei tensori simmetrici in \(T^*V\), quest'ultima algebra è isomorfa all'anello dei polinomi in un infinità numerabile di variabili -perché tale è la cardinalità di una base di $V$ come $K$-modulo), quindi è ragionevole aspettarsi che in quel caso $d^\otimes : K[T_1,...,T_n,...] \to K[T_1,...,T_n,...]$ si comporti come una combinazione delle derivate parziali $\frac{\partial}{\partial T_i}$.