Topologia algebrica

[anto84gr]

Buongiorno,
ho un quesito da porvi che mi sta creando alcuni problemi. Il testo dice: determinare una funzione $alpha:\S^1 -> \S^2$ continua e non costante, tale che $S^2-\alpha(S^1)$ è semplicemente connessa.

Ora, se la funzione fosse continua allora $\alpha(S^1)$ sarebbe un punto; togliendo un punto dalla sfera questa risulta essere omeomorfa a $R^2$, quindi gruppo fondamentale banale, perciò $S^2-\alpha(S^1)$ semplicemente connessa.

Ma se invece voglio una funzione non costante? Cosa dovrei fare? Avevo pensato ad un arco, ma non so se sia giusto e in caso positivo come si trova questa funzione. Aiutatemi per favore. Grazie

[dissonance]

Secondo la tua definizione, un insieme semplicemente connesso è connesso?

[anto84gr]

Uno spazio topologico è semplicemente connesso se è connesso per archi e il suo gruppo fondamentale è il gruppo banale

[dissonance]

È una domanda trabocchetto. Da nessuna parte si dice che la funzione non deve essere iniettiva; quindi puoi pensare a fare un taglietto nella sfera. Parti da un punto, vai in un altro punto, e torna indietro sullo stesso percorso.

[anto84gr]

Non ho capito...quale sarebbe quindi questa funzione?

[anto84gr]

Cioè fare un taglio su una sfera significa fare un arco di circonferenza giusto?

[dissonance]

Prendi un mappamondo. Prendi una penna. Appoggia la penna su un punto del mappamondo, spostala in un altro punto vicino. Hai tracciato un percorso sulla sfera. La sfera privata di questo percorso è semplicemente connessa, per la stessa ragione che hai detto tu prima (è omeomorfa al piano).

Problema: questo percorso non è una funzione di \(S^1\) in \(S^2\), perché non è periodica. Allora, modificala in modo che sia periodica, ovvero che finisca nello stesso punto di dove inizia. Per farlo, ripercorri al contrario il percorso iniziale.

[dan95]

Se consideriamo la parametrizzazione usuale
$\beta: [0,1] \mapsto S^1$
$\\ \theta \mapsto (\cos(2\pi \theta),\sin(2\pi \theta))$
Risulta che $\alpha @ \beta $ è un cammino chiuso, se levo a $S^2$ un cammino chiuso diventa disconnesso.

[anto84gr]

Mi sono ora accorta di un errore...se la funzione fosse costante, non continua!

dan95 non ho capito!

[dissonance]

@dan95: infatti la traccia non parla di cammino, ma di funzione. Per questo puoi prendere una funzione non ingettiva che percorre un pezzettino di cammino e poi torna indietro sui suoi passi. Alla fine quello che togli è solo un segmento e non sconnetti $S^2$. Non so se è chiaro, è la stessa idea che cercavo di dire prima