La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi diagonali. È facile vedere la funzione traccia $tr$ è lineare e che $tr(AB)=tr(BA)$ per ogni $A,B$ matrici quadrate $n xx n$.
Indichiamo con $M_n(k)$ (dove $k$ è un corpo) l'insieme delle matrici $n xx n$ a coefficienti in $k$. Si tratta di un'algebra, cioè uno spazio vettoriale che è anche un anello (il prodotto è la moltiplicazione usuale tra matrici) e le operazioni sono compatibili. La traccia è allora una funzione $f:M_n(k) to k$.
Mi dicono che la traccia è (a meno di proporzionalità) l'unica funzione lineare $f:M_n(k) to k$ con la proprietà che $f(AB)=f(BA)$ per ogni $A,B$ in $M_n(k)$. Cioè se una $f$ ha queste proprietà allora è un multiplo della traccia. Secondo voi è vero?