Differenza tra reale algebrici o trascendenti e complessi algebrici o trascendenti

[ceanto12]

Ciao a tutti sono nuova e non so se qualcuno si è già posto il mio quesito in precedenza.
Anche se online non ho trovato la risposta che cercavo.
Sono in fase scrittura tesi.
Stavo dimostrando il contro esempio che estensione algebrica non implica sempre estensione finita.
Come contro esempio so che si potrebbe sfruttare la chiusura algebrica assoluta e relativa di Q.
So ancora che la chiusura algebrica relativa su Q coincide con l'insieme dei numeri reali algebrici su Q e la chiusura algebrica assoluta coincide con l'insieme dei numeri complessi algebrici su Q.

Ora mi è stata posta una domanda
perchè utilizzi la dicitura numeri semplicemente algebrici per indicare i numeri complessi algebrici su Q? i reali algebrici come li chiami?

io so che il contro esempio esiste per entrambi i casi cioè sia con elementi reali che elementi complessi

Mi chiedevo.... c'è qualche ipo di similitudine per dire che se lo dimostro per C vale anche per R o viceversa?
forse mi sto semplicemente perdendo in chiacchiere e non riesco ad uscirne.


grazie a chi verrà

[Martino]

Ciao, estensione finita implica algebrica. Quindi non capisco la domanda

[ceanto12]

Ciao, estensione finita implica algebrica. Quindi non capisco la domanda

Forse non è stata chiara la domanda, scusatemi
Vorrei solo capire perché alcuni testi costruiscono l insieme degli algebrici reali su Q e alcuni prendono gli algebrici complessi

Vorrei capire se c’e Qualche similitudine che mi sfugge
Tra algebrici reali e algebrici complessi su Q
Stesso per i trascendenti

[Martino]

In genere chiusura algebrica relativa significa questo: hai due campi $A$ e $B$ con $A$ contenuto in $B$, la chiusura algebrica relativa di $A$ in $B$ consiste degli elementi di $B$ algebrici su $A$.

Quali testi costruiscono i reali algebrici?

[ceanto12]

Franciosi de Giovanni non che degli appunti fatti da un mio professore Alessio Russo

Conosco la definizione di chiusura algebrica relativa

[Martino]

Forse avevo letto male ma ho visto che hai modificato, sei in cerca quindi di un'estensione algebrica infinita.

Se conosci la definizione di chiusura algebrica relativa perché scrivi questo?

So ancora che la chiusura algebrica relativa su Q coincide con l'insieme dei numeri reali algebrici su Q

Perché "reali"?

Mi chiedevo.... c'è qualche tipo di similitudine per dire che se lo dimostro per C vale anche per R o viceversa?

La chiusura algebrica relativa di $QQ$ in $RR$ è algebrica ma infinita. Quindi sì, va bene come controesempio.

Continuo a non capire perché quando dici "chiusura algebrica relativa" la supponi sempre di $QQ$ in $RR$. Cioè cos'avrebbe $RR$ di speciale?

Franciosi de Giovanni non che degli appunti fatti da un mio professore Alessio Russo

Avresti un link?

Ciao

[ceanto12]

Forse avevo letto male ma ho visto che hai modificato, sei in cerca quindi di un'estensione algebrica infinita.

Se conosci la definizione di chiusura algebrica relativa perché scrivi questo?

So ancora che la chiusura algebrica relativa su Q coincide con l'insieme dei numeri reali algebrici su Q

Perché "reali"?

Mi chiedevo.... c'è qualche tipo di similitudine per dire che se lo dimostro per C vale anche per R o viceversa?

La chiusura algebrica relativa di $QQ$ in $RR$ è algebrica ma infinita. Quindi sì, va bene come controesempio.

Continuo a non capire perché quando dici "chiusura algebrica relativa" la supponi sempre di $QQ$ in $RR$. Cioè cos'avrebbe $RR$ di speciale?

Franciosi de Giovanni non che degli appunti fatti da un mio professore Alessio Russo

Avresti un link?

Ciao

Buon giorno,
non avevate letto male, ho corretto due volte quello che avevo scritto rileggendomi, ho commesso degli errori. Non sono in cerca di un estensione algebrica infinita il contro esempio l'ho già dimostrato per assurdo, dimostrando che il grado del insieme A dei numeri complessi algebrici su Q è infinito. foto 1 + 2








differenza tra chiusura algebrica relativa e assoluta su Q
mi è stata definita cosi
relativa : l'insieme di tutti gli a appartenenti ad R tali che a algebrico su Q
assoluta : l'insieme di tutti gli a appartenenti a C tali che a algebrico su Q

in generale
L'insieme di tutti gli elementi algebrici dell'estensione K sul campo F, si dice chiusura algebrica relativa di F in K, viene indicata con F segnato e forma un campo.
Un'estensione K di F si dice chiusura algebrica assoluta ,se è estensione algebrica di F e se è un campo algebricamente chiuso e indico con F tilde

la domanda che mi è stata fatta è
perche hai scelto gli elementi di A complessi? a parte che l'ho trovato sul libro di cui le foto
poi l'ho dimostrato anche per elementi di R
ora mi chiedo c'è qualche tipo di similitudine tra gli elementi reali algebrici su Q e su complessi algebrici su Q?


grazie per la pazienza

[killing_buddha]

E' la definizione di chiusura relativa VS assoluta a esserti stata definita nel modo sbagliato: la definizione di chiusura relativa te l'ha già data martino, quella assoluta è semplicemente "la chiusura algebrica" di $\mathbb Q$. https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_closure

E ci devi mettere dei numeri complessi semplicemente perché ti servono: $X^2+1$ vuole le sue due radici in $\mathbb A$.

[ceanto12]

allora perchè la professoressa mi ha chiesto perchè chiami insieme dei semplicemente algebrici su Q ->l 'insieme dei complessi algebrici su Q? come li chiami i reali ?

tanto che lei a lezione il contro esempio estensione algebrica non implica finita lo ha fatto con elementi reali

[Martino]

Aspetta, è un po' difficile farci capire un fraintendimento che tu e la tua prof avete avuto conversando solo riportandoci un pezzo della conversazione (nella fattispecie una domanda che ti ha posto), perché non provi a continuare tale conversazione con lei? Poi dicci com'è andata che sono curioso

Quello che vorrei farti capire è che ti assicuro che ancora non si capisce la domanda. Cosa vorresti sapere esattamente? La chiusura algebrica assoluta non si fa in un sovracampo, tuttavia esiste un sottocampo di $CC$ isomorfo alla chiusura algebrica assoluta di $QQ$. Il che non vale per $RR$.