Re: Una funzione lipschitziana lineare sui razionali è lineare a tratti

Messaggioda wanderer » 09/12/2017, 18:33

Bremen000 ha scritto:Magari sto per dire una poderosa scemenza ma ho pensato questo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Poiché la funzione è Lipschitziana essa è continua e dunque, essendo $[0,1]$ compatto, essa assume massimo $M$ e minimo $m$ su tale intervallo.
Sempre perché $f$ è Lipschitziana non può essere che esista un $b : |b|>L$.
Dunque $b$, variando in $ZZ$ può assumere al più $2\lfloor L \rfloor+1 =:N$ valori.
D'altra parte $a$ non può assumere un valore maggiore di $(|M| \vee |m|)+N$ per la limitatezza di $f$.

Dunque esiste un numero finito di coppie distinte $(a,b) \in ZZ^2$ che soddisfano le ipotesi del teorema, chiamo $A$ il sottoinsieme di $ZZ^2$ che ha per elementi tali coppie.

Sia ora $q$ un razionale fissato qualsiasi.

$B_{1/(n+2)}(q) \cap [0,1] \cap QQ \ne \emptyset \quad \forall n \in NN $
Dunque è possibile costruire una successione
$\{q_n}_{n \in NN} $ t.c. $q_n \in [0,1] \cap QQ \forall n \in NN$ e $q_n \underset{n}{\to} q$

A ogni $q_n$ è associata una coppia $c_n \in A$.Ovvero a $\{q_n\}_{n\ in NN}$ è associata la successione $\{c_n\}_{n \in NN} \subset A$. D'altra parte $A$ è finito e dunque esiste una (mi sa che deve essere unica per l'unicità del limite che salta fuori dopo dove metto l'asterisco) coppia $c =(a,b)$ che si ripete infinite volte e dunque definitivamente; a tale coppia sarà associata la sottosuccessione $\{q_{n_k} \}_{k \in NN} \subset \{q_n}_{n \in NN}$ per la quale valgono i seguenti due fatti:
1. $q_{n_k} \underset{k}{\to} q$
2. $f(q_{n_k}) = a+bq_{n_k} \quad \forall k \in NN$

Da cui ricaviamo, per continuità di $f$ che anche $f(q) = a+bq \quad (\ast)$

Credo che da qua si possa ricavare che c'è un intorno aperto $D$ di $q$ tale per cui $f(x) = a+bx$ per ogni $x \in D \cap QQ$ e per continuità di $f$ deve valere anche per gli irrazionali. Con l'idea di wanderer si conclude.


Come fai a dire che sul singolo punto razionale il numero di coppie $(a,b)$ valide sia finito? A me risulta che, presa una coppia $(a,b)$ che soddisfa l'equazione lineare per un punto razionale, se ne possano ricavare infinite altrettanto valide.
Infatti anche io pensavo inizialmente di dimostrare che il numero di coppie valide fosse finito, però in un intorno di un punto razionale dove puoi effettivamente applicare la Lipschizianità della funzione...
wanderer
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 123 di 306
Iscritto il: 16/12/2015, 19:38

Re: Una funzione lipschitziana lineare sui razionali è lineare a tratti

Messaggioda Bremen000 » 09/12/2017, 19:01

Mah, voleva essere più un'idea che una dimostrazione studiata per bene. Non ho in effetti una giustificazione rigorosa di questo fatto ma mi sembra "convincente":

Se i $b$ non fossero finiti allora la pendenza della funzione può diventare arbitrariamente grande sui razionali, cosa che non la renderebbe più Lipschitziana. Almeno credo, bisognerebbe trovare un modo per mostrare questo fatto (se è vero).

Del tipo, se non sono limitati ne prendo una successione che diverge $b_n \to \infty$, quindi ad esempio la differenza $|f(0)-f(x_n)|$ forse potrebbe tendere a più infinito..non ho tempo per sistemare i dettagli ora!

Se fosse vero, il resto secondo te funziona?
Ultima modifica di Bremen000 il 09/12/2017, 19:07, modificato 1 volta in totale.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 539 di 2648
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Re: Una funzione lipschitziana lineare sui razionali è lineare a tratti

Messaggioda Delirium » 09/12/2017, 19:07

Bremen000 ha scritto:Poiché la funzione è Lipschitziana essa è continua e dunque, essendo $[0,1]$ compatto, essa assume massimo $M$ e minimo $m$ su tale intervallo.
Sempre perché $f$ è Lipschitziana non può essere che esista un $b : |b|>L$.
Dunque $b$, variando in $ZZ$ può assumere al più $2\lfloor L \rfloor+1 =:N$ valori.
D'altra parte $a$ non può assumere un valore maggiore di $(|M| \vee |m|)+N$ per la limitatezza di $f$.

Dunque esiste un numero finito di coppie distinte $(a,b) \in ZZ^2$ che soddisfano le ipotesi del teorema, chiamo $A$ il sottoinsieme di $ZZ^2$ che ha per elementi tali coppie. [...]

Non sono d'accordo con questa affermazione. Prendi \(r_n = n/(n+1) \to 1 \), \(n \in \mathbb{N}\); possiamo scegliere \(b_n = (n+1)\) e \(a_n=-n\) ed avere \(|a_n + r_n b_n| \equiv 0\). Questo fornisce "infinite coppie" (questa terminologia e' comunque da chiarire, perche' non si capisce se intendi "finite coppie per ogni razionale fissato" oppure "finite coppie overall"; nel primo caso, comunque, prendi \(p/q \in \mathbb{Q}\), \(b=q\) e \(a=-p\) e hai comunque un numero infinito di coppie senza violare la limitatezza).

Inoltre non credo tu stia usando in maniera essenziale la lipschitzianita' (sono abbastanza sicuro che la continuita' non basti).

Un passo avanti e' questo: sia \(\bar{x} \in [0,1]\) irrazionale e \( \{r_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{Q} \cap [0,1] \) tale che \(r_n \to \bar{x}\); a questa successione di razionali abbiamo associate le due successioni di interi \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) e \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tali che \( f(r_n) = a_n + r_n b_n\); la lipschitzianita' di \(f\) ci permette subito di escludere i casi in cui una soltanto tra le due successioni di interi sia illimitata. Rimangono aperti due casi: o \(a_n\) e \(b_n\) sono entrambe limitate \((*)\), oppure sono entrambe illimitate \((**)\).
Se \(a_n\) e' limitata, allora esiste una sua sottosuccessione \(a_{n_k} \equiv a \in \mathbb{Z} \); la indicizzo su \(I \subseteq \mathbb{N}\). Siccome anche \(b_n\) e' limitata, esiste una sua sottosuccessione \( \{b_j\}_{j \in I} \) tale che \(b_j \equiv b \in \mathbb{Z} \) (questo e' sostanzialmente un procedimento diagonale). Possiamo assumere quindi senza ledere le generalita' che per ogni \(x \in [0,1]\) irrazionale esiste una successione di razionali \( r_n \to x\) tale che \(f(r_n)=a+br_n\). Ora \(a\) e \(b\) dipendono in qualche modo da \(x\), ma sono uguali per ogni termine \(r_n\) della successione. Tuttavia \((**)\) e' ancora da chiarire. Inoltre non riesco ancora a mostrare che \(f\) e' localmente lineare in ogni intorno di un irrazionale.
Delirium
 

Re: Una funzione lipschitziana lineare sui razionali è lineare a tratti

Messaggioda Bremen000 » 09/12/2017, 20:37

Mi spiace, di solito posto solo cose di cui sono sicuro; ho fatto uno strappo alla regola e mi è andata male!
Ho letto e capito la tua dimostrazione, ma da lì non saprei come muovermi.

Ci deve essere qualche sorta di controllo sulle pendenze comunque...ma non ho idea di come fare :-D
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 540 di 2648
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Re: Una funzione lipschitziana lineare sui razionali è lineare a tratti

Messaggioda Delirium » 09/12/2017, 22:56

Bremen000 ha scritto:Mi spiace, di solito posto solo cose di cui sono sicuro; ho fatto uno strappo alla regola e mi è andata male!
Ho letto e capito la tua dimostrazione, ma da lì non saprei come muovermi.

Ci deve essere qualche sorta di controllo sulle pendenze comunque...ma non ho idea di come fare :-D

Nessun problema, la Matematica si fa (anche) cosi'!
Comunque mi e' venuta un'altra idea (da esplorare): ora che sappiamo che anche sugli irrazionali la funziona si comporta "linearmente", possiamo scrivere \[ [0,1] = \bigcup_{(a,b) \in \mathbb{Z}^2} \{ x \in [0,1] \, : \, f(x) = a + bx \}. \]Questo ci dice che c'e' almeno una coppia \((\bar{a},\bar{b}) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(\{ x \in [0,1] \, : \, f(x) = \bar{a} + \bar{b}x \} \) ha la potenza del continuo.
Delirium
 

Re: Una funzione lipschitziana lineare sui razionali è lineare a tratti

Messaggioda Vincent46 » 09/12/2017, 23:17

Delirium ha scritto:
Bremen000 ha scritto:Mi spiace, di solito posto solo cose di cui sono sicuro; ho fatto uno strappo alla regola e mi è andata male!
Ho letto e capito la tua dimostrazione, ma da lì non saprei come muovermi.

Ci deve essere qualche sorta di controllo sulle pendenze comunque...ma non ho idea di come fare :-D

Nessun problema, la Matematica si fa (anche) cosi'!
Comunque mi e' venuta un'altra idea (da esplorare): ora che sappiamo che anche sugli irrazionali la funziona si comporta "linearmente", possiamo scrivere \[ [0,1] = \bigcup_{(a,b) \in \mathbb{Z}^2} \{ x \in [0,1] \, : \, f(x) = a + bx \}. \]Questo ci dice che c'e' almeno una coppia \((\bar{a},\bar{b}) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(\{ x \in [0,1] \, : \, f(x) = \bar{a} + \bar{b}x \} \) ha la potenza del continuo.

Non ho seguito tutto lo sviluppo, ma se così fosse si potrebbe dire di più, ossia che uno di quegli insiemi contiene un intervallo (utilizzando il teorema di Baire).
Vincent46
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 175 di 523
Iscritto il: 26/01/2014, 17:27

Re: Una funzione lipschitziana lineare sui razionali è lineare a tratti

Messaggioda Delirium » 10/12/2017, 00:11

@Vincent: vero, uno spazio metrico completo non puo' essere unione numerabile di aperti mai densi.

E' un problema tosto.

Comunque per dare un po' di contesto: questo e' il problema B6 dell'edizione 2014 delle Putnam Competitions; problema e soluzione sono dovuti a K. Kedlaya. Le statistiche sono interessanti: su 190 partecipanti, 147 hanno lasciato il problema in bianco, 37 hanno preso 0 punti; soltanto due persone hanno preso rispettivamente 9 e 10 punti.
Delirium
 

Precedente

Torna a Pensare un po' di più

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite