Sfere e probabilità

[anto_zoolander]

Girovagando in rete ho trovato un problema che mi sembra interessante ed è analogo ad un problema già proposto.

Premetto che non ho una mia soluzione.
data una sfera: qual è la probabilità che prendendo quattro punti a caso su essa, il solido che si ottiene tali punti contenga il centro della sfera?

Sarebbe interessante, nel caso degli spazi affini, vedere il problema quando si ha uno spazio affine di dimensione $n$, una $n-S f e r a$ e un solido in dimensione $n$. Il problema già proposto era per $n=2$ questo per $n=3$

[killing_buddha]

Linki il problema in dimensione 2? Se chiami $p_i=(x_i, y_i)$ i punti sul cerchio, si tratta della probabilità congiunta che le due variabili casuali
\[
X = -\frac{\det(p_0\;\; p_2)}{\det(p_1\;\; p_2)}
\qquad
\qquad
Y = \frac{\det(p_0\;\; p_1)}{\det(p_1\;\; p_2)}
\] uniformemente distribuite in $[0,1]$, soddisfino $X,Y > 0, X+Y< 1$.


Uhm, forse è meglio prendere come variabili le coordinate dei punti, perché serve anche la condizione che $x_i^2+y_i^2=1$ (o uguale al raggio del cerchio). Ma insomma, ci siamo capiti.

Oh, e chiaramente una cosa del tutto analoga vale in dimensione $n$.

[anto_zoolander]

click! per il caso $n=2$

Sarebbe interessante una soluzione con integrali, anche se dubito sia facile

[Dobrogost]

Ma l'hai preso da qui?

https://www.youtube.com/watch?v=OkmNXy7er84

In questo (peraltro meraviglioso) video trovi una soluzione elegante per il caso $n=3$.

[Martino]

Parlando del caso $n=2$,

click! per il caso $n=2$

Sarebbe interessante una soluzione con integrali, anche se dubito sia facile

Per ottenere un triangolo che non contenga il centro bisogna scegliere tre angoli $alpha$, $beta$ e $gamma$ sulla circonferenza in modo tale che il massimo tra $|alpha-beta|$, $|alpha-gamma|$ e $|beta-gamma|$ sia minore o uguale di $pi$. Questo dà un volume in $[0,2 pi]^3$ (che verrà diviso per $(2 pi)^3$ per ottenere la probabilità). Il valore di tale volume si può scrivere come integrale e viene

\( \displaystyle \int_{\alpha=0}^{2 \pi} \int_{\beta = \max(0,\alpha-\pi)}^{\beta = \min(2 \pi,\alpha+\pi)} \int_{\gamma=\max(\alpha-\pi,\beta-\pi,0)}^{\gamma=\min(\alpha+\pi,\beta+\pi,2\pi)} d\alpha d\beta d\gamma \)

Facendolo con Wolfram alpha triple integral calculator viene che questo integrale vale $4 pi^3$ e quindi la probabilità richiesta è $4 pi^3//8 pi^3 = 1/2$.

[anto_zoolander]

@dogobrogost
Esattamente, è proprio quel video

@Martino
La soluzione del quesito è $1/4$ per $n=2$ e $1/8$ per $n=3$

[Martino]

Grazie ho rifatto il conto, avevo dimenticato una porzione di angoli, adesso la probabilità che il triangolo non contenga il centro mi viene così:

\( \displaystyle P = \frac{\int_{\alpha=0}^{2 \pi} \int_{\beta=\alpha}^{2\pi} \max(\beta-\alpha,2\pi-(\beta-\alpha)) d\beta d\alpha}{\int_{\alpha=0}^{2\pi} \int_{\beta=\alpha}^{2\pi} 2\pi d\beta d\alpha} = \frac{3 \pi^3}{4 \pi^3} = \frac{3}{4} \)