Un (caso particolare di un) teorema di Kirszbraun

[Delirium]

Problema. Sia \( A \subseteq \mathbb{R}^n \), \(f :A \to \mathbb{R}\) lipschitziana. Mostrare che esiste una funzione lipschitziana \( F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) tale che \( F_{| A} \equiv f\) e \( \text{Lip}(F)=\text{Lip}(f)\).

E' un caso particolare di un teorema piu' generale (occhio perche' la pagina spoilera anche la soluzione).

[Delirium]

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Definiamo \( F(x) := \inf_{a \in A} \{ f(a) + |x-a| \text{Lip}(f) \} \) per ogni \(x \in \mathbb{R}^n\). Ovviamente per ogni \(b \in A\) si ha \( F(b) \le f(b)\); inoltre \( f(b)-f(a) \le \text{Lip}(f) |b-a| \) implica \( f(b) \le \inf_{a \in A} \{ f(a) + |b-a| \text{Lip}(f) \}=F(b)\).
Ne segue che \(f(b)=F(b)\) per ogni \(b \in A\).

Siano ora \(x,y \in \mathbb{R}^n\) fissati. Si ha \[F(x) \le f(a) + |x-a|\text{Lip}(f) \le f(a) + |x-y| \text{Lip}(f) + |y-a| \text{Lip} (f) \]donde \[ F(x) \le |x-y|\text{Lip}(f) + \underbrace{\inf_{a \in A} \left( f(a) + |y-a|\text{Lip}(f) \right)}_{=F(y)} \]e scambiando il ruolo di \(x\) e \(y\) si ottiene \[ |F(x)- F(y)| \le \text{Lip}(f) |x-y|\]che prova \( \text{Lip}(F) \le \text{Lip}(f) \). \( \text{Lip}(f) \le \text{Lip}(F) \) e' ovvio dalla definizione di \(F\) e dal fatto che \( F_{|A} =f\).