Indovina la legge di ricorrenza d'una certa successione

[Erasmus_First]

Per una certa successione ${a_n}$ – con $n ∈ NN$ – valgono le seguenti proprietà
1) la successione è monotòna crescente;
2) la successione converge ad un reale $k$ tale che $k^(1/k) = 3^(1/3)$;
3) il termine iniziale $a_0$ è un qualunque reale compreso tra 0 e $k$ esclusi, (è cioè $0 < a_0 < k$) ;
4) per ogni indice $n$ naturale, $a_(n+1) = f(a_n)$ (dove $f$ è una opportuna funzione reale di variabile reale).

Qual è mai l'effettiva legge di ricorrenza indicata in 4) come $∀ n ∈ NN$ $a_(n+1) = f(a_n)$?
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[Erasmus_First]

Oh bella!
Una quarantina di visite e nessun intervento!
Nemmeno per chiedere una qualche ulteriore spiegazione...
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[Rigel]

Oh bella!
Una quarantina di visite e nessun intervento!
Nemmeno per chiedere una qualche ulteriore spiegazione...

Ossignur
Il fatto è che questi problemi ammettono infinite soluzioni, ma si sa che vale solo quella che hai pensato tu

La mia risposta è \(f(x) = k\).

[Erasmus_First]

[...] questi problemi ammettono infinite soluzioni,[...]

Allora ... avanti con una soluzione (delle "infinite" che tu dici ammissibili).

[...] ma si sa che vale solo quella che hai pensato tu

Questo lo stai dicendo tu, io non l'ho detto (né pensato).
Anzi: mi piacerebbe vedere qualche successione diversa dalla "mia" che rispetta ugualmente i 4 punti dichiarati nel testo di questo mio quiz.

La mia risposta è \(f(x) = k\).

Non ti capisco.

[...]
1) la successione è monotòna crescente;
2) la successione converge ad un reale $k$ tale che $k^(1/k) = 3^(1/3)$;
[...]
4) per ogni indice $n$ naturale, $a_(n+1)=f(a_n)$.

@ Rigel
a) Il tuo $k$ ha il significato dato a questa lettera nel quiz, cioè il limite della successione (che è convergente)?
b) Non ho capito se la tua risposta vuole essere solo uno scherzo o cosa altro intendi dire. Facciamo (finta?) che la tua risposta non sia uno scherzo.
Il punto 4) dice che c'è una legge di ricorrenza di ordine 1 tale che, per una certa opportuna funzione $y = f(x)$ succede
$a_(n+1) = f(a_n)$ per ogni $n$ naturale. Ma se f(x) = k (costante), tutti i termini della successione valgono k ... contraddicendo il punto 1). O no?
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La mia successione ${a_n}$, per quanto è detto nei quattro punti del quiz, ha tutti i termini positivi, è monotòna crescente e converge ad una costante positiva $k$ tale che
$k^(1/k) = 3^(1/3)$.
Nella "mia" successione vale una legge di ricorrenza del tipo
$a_(n+1) = f(a_n)$ [*]
(per ogni $n$ naturale).
Quale che sia questa funzione $f$, se $k$ è il limite della successione, deve risultare
$k=f(k)$ [**]
D'altra parte, siccome $k$ è tale che $k^(1/k)= 3^(1/3)$, vale anche l'uguaglianza seguente
$k= (3^(1/3))^k$. [***]

Secondo me, caro Rigel, ... il "pensare un po'di più" alla terna delle uguaglianze [*], [**] e [***] conduce – per usare le tue stesse parole – "alla risposta che ho pensato io"
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[Martino]

Forse \( \displaystyle a_{n+1}=3^{a_n/3} \)

[anto_zoolander]

@martino mettila sotto spoiler, perché stavo per mettere la stessa! ma così mi diranno che ho barato

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Comunque penso basti ricordare che si chiede una funzione che abbia come punto fisso $k=3^(k/3)$
Di fatto basta considerare una qualsiasi funzione continua $f$ per ottenere che

sia $k$ il valore di convergenza di $(a_n)$

$• f(a_n)->f(k)$

$• f(a_n)=a_(n+1)->k$

$•limf(a_n)=lima_(n+1)$

Dunque $f(k)=3^(k/3)$
La funzione $f(x)=3^(x/3)$ dovrebbe rispondere alle richieste, come già detto.

Infatti $a_(n+1)=f(a_n)=3^((a_n)/3)$
Il limite è il punto fisso $k=3^(k/3)$
Il punto iniziale non dovrebbe influire sul comportamento asintotico

Inoltre penso che ogni funzione continua che nell’insieme ${x inRR:f(x)=x}$ contenga uno o tutti i valori $k inRR:k^(1/k)=3^(1/3)$ soddisfi la richiesta. Chiaramente si tratta di vedere se essa è unica.

[Erasmus_First]

@ Rigel, Martino, anto_zoolander ... et alii
Ma il coccodrillo come fa?
Oops! Ho sbagliato domanda.
Ma 'sto $k = (3^(1/3))^k$ quanto fa?
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[Rigel]

@erasmus:
no, non era uno scherzo. Per quanto mi riguarda non contraddice (1), poiché per me (e molti altri) con crescente si intende quello che altri chiamano "non decrescente" o "crescente in senso debole".
Deduco che, con la mia nomenclatura (che convengo non essere universale), tu vuoi una successione strettamente monotona.

Allora ti propongo un'altra soluzione (anzi, un'altra famiglia di soluzioni):
\(f(x) = 3 + m(x-3)\) con \(|m| < 1\). La successione definita per ricorrenza risulta strettamente crescente se \(a_0 < 3\) e strettamente decrescente se \(a_0 > 3\); inoltre converge a \(3\), che è una delle due soluzioni dell'equazione da te proposta per \(k\). Se vuoi l'altra soluzione \(k \simeq 2.478\), basta che usi \(f(x) = k + m(x-k)\).

[Erasmus_First]

@ Rigel.
Scrivo qui (editando) ora, martedì 16 gennaio 2018, h12:45
Nel testo che segue (scritto la notte scorsa) ho preso una cantonata!
[Me ne sono accorto stamattina appena svegliato. Ma non potevo intervenire subito perché altrimenti impegnato].
Ho continuato a pensare che $f(x) = k$ comportasse che tutti i termini della successione fossero uguali!
Invece no!
Il testo richiede che il termine iniziale sia minore di k; e con la tua risposta e $a_0 < k$ viene $a_(n+1) = k > a_0$ per ogni $n$ naturale.
Quindi .,.. hai ragione tu, Rigel! [Come altre volte; e quando appunto dicevo che tu eri "er mejo"!].
La tua risposta $f(x) = k$ non contraddice il punto 1), perché la successione che ne viene è effettivamente "monotona crescente" (in senso largo), proprio secondo la definizione che ho scritto questa notte nel testo che segue [in cui, – sbagliando! – contestavo che andasse bene la tua risposta "$f(x) = k$"]
Non correggio quabto avewvo scritto quewsta notte!
Ciao ciao
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@ Erasmus:
no, non era uno scherzo. Per quanto mi riguarda non contraddice (1), poiché per me (e molti altri) con crescente si intende quello che altri chiamano "non decrescente" o "crescente in senso debole"

Che una successione costante sia monotòna mi trova d'accordo. [Direi che una tale successione è soprattutto monòtona ].
Ma non la puoi dire "crescente" (nemmeno "in senso debole") ... senza stravolgere il senso delle parole!
Una successione "monotòna crescente in senso debole" è una successone in cui "ogni termine tranne quello iniziale [che non ha l'antecedente] non è minore del suo antecedente E esite un termine che è maggiore del termine iniziale". In formula, se indichiamo con ${a_n}$ la successione:
$(∀n ∈ NN$ $a_(n+1) ≥ a_n) ∧ (∃k ∈ NN$ | $a_k > a_0)$.
Se sostituisci "≥" con "=" [e togli poi la seconda proposizione] ... in nessun senso [con nessuna restrizione] la puoi dire "crescente".
[Dal fatto che ci sia una infinità di termini e che ci sia un termine maggiore del primo segue immedistamente che tutti gli infiniti termini successivi a questo sono maggiori del primo].

[...]tu vuoi una successione strettamente monotona.

Diciamo che io "ho pensarto" una classe di successioni "crescenti in senso stretto" ($∀n ∈ NN$ $a_(n+1) > a_n$) e tutte convergenti allo stesso limite k < e (= 2,71828..., base del logaritmo naturale).
Sia nel titolo che nel testo del quiz ho usato il verbo "indovinare" invece di "trovare" (o di "determinare") per significare che il quiz consisteva proprio nel individuare una precisa classe di succesioni sfruttando bene gli "indizi" contenuti nel testo) pur sapendo che questa non era l'unica possibile. E davvero pensavo: «Vediamo se indovinano quella che ho in mente, quella della ripetizione dell'esponente, o se ne inventano qualche altra». Vedi che, dopo che ho rimarcando gli "indizi", Martino ha indovinato!

Allora ti propongo un'altra soluzione (anzi, un'altra famiglia di soluzioni):
\(f(x) = 3 + m(x-3)\) con \(|m| < 1\).[...] ( \(a_0 < 3\)

Oh, questa sì è una bella risposta (un buon contributo in questa sezuione "Pensare un po' di più"), mica la precedente risposta "$f(x) = k$".
Ciao ciao.
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@ Martino

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