Matematicamente.it

Trilogy, il mondo non è continuo, d'accordo, ma lo sembra tanto. Di continuo, infatti, mi imbatto in stupidaggini tipo i filosofi al rogo. Anche questo è un paradosso, non trovi, visto che affermazioni del genere sono pseudofilosofiche? Scusa l'OT, ma ritengo che un buon matematico dovrebbe mantenere, nei suoi giudizi sulle altre discipline, il rigore che chiede trattando della sua: tacere quando non sa è un buon punto di partenza per tutti. Magari, chi ha detto sa pure di filosofia, ma io non credo sappia bene. Se sapesse, saprebbe che filosofare è, permettimi la citazione da M.de Montaigne, prepararsi a morire, ch'è poi lo stesso compito del Matematico: prepararsi a fare dell'ignoto un bel teorema. Spero che il sospetto o dispregio che taluni matematici hanno della Filosofia non nasca dal fatto che la Matematica ha un più immediato, quantificabile impiego nelle applicazioni del vivere, perché l'idea della Matematica come di una scienza solo utile la rende solo noiosa. Poi, verissimo, il Filosofo sa e se ne dispiace, prima di abituarvicisi, di essere inferiore al Matematico, ma non a quello che si ritiene superiore ad altri. Quello è, direi piuttosto, un meccanico che non sa nulla del canto di un motore. Ciao.

E' esperienza comune e quindi sotto un certo aspetto evidente, che il cosiddetto paradosso di Zenone non è di fatto un paradosso se non idealmente.
Certo se per arrivare al bersaglio la freccia deve percorrere infiniti tratti vuol dire che la somma di infiniti tratti dà per risultato infinito, quindi mai.
Invero la Natura va per salti.....ce lo insegna Plank....non esistono infinite posizioni come non esistono infiniti punti....

Achille raggiungerà la tartaruga perchè egli va per salti.

La freccia raggiungerà il bersaglio perchè in definitiva tra la freccia e il bersaglio c'è uno spazio definito.

Il calcolo infinitesimale è una comodità di calcolo.

La domanda sarebbe: in quale punto (ben identificato), tartaruga e piede coincideranno? (approssimazioni a parte).......................

Ma no, è qui l'errore:

anassagora ha scritto:Certo se per arrivare al bersaglio la freccia deve percorrere infiniti tratti vuol dire che la somma di infiniti tratti dà per risultato infinito, quindi mai.

La somma di infiniti tratti può tranquillamente essere finita, questo è un concetto ormai ben assodato nella matematica moderna.

anassagora ha scritto:E' esperienza comune e quindi sotto un certo aspetto evidente, che il cosiddetto paradosso di Zenone non è di fatto un paradosso se non idealmente.

Prendo il tuo post ma solo per esprimere un concetto generale.
Zenone ha preso una freccia che va da A a B ed ha diviso il percorso per N, per poi affermare che N ad infinito. Ha semplicemente definito un differenziale. Ergo per risolvere il paradosso basta sommare i differenziali e fare:
$ int_(A)^(B) dx $
Se si usa il medesimo "oggetto" utilizzato per creare il paradosso, allora esso cessa di esistere.
E' Zenone che non sapeva cosa fosse un differenziale e vedeva un paradosso perchè irrisolvibile in via "ordinaria" (=finita).

Comunque, il concetto di differenziale ha suscitato critiche sin dal principio nella storia della matematica. Innumerevoli matematici (spesso di basso livello) li vedevano come dei mostri da utilizzare esattamente come una volta veniva usato i, ovvero come espediente matematico per risolvere problemi difficili (come fece Tartaglia).
Alcuni di questi matematici erano pure uomini di chiesa (non è casuale dato che erano fra i più istruiti al tempo e spesso hanno dato contributi duraturi) e a leggere cosa scrivevano viene da ridere! Ricordo un vescovo del 1700 che associava gli infinitesimi allo "strumento del diavolo" (come i dischi rock).
Comunque ancora oggi c'è chi pensa che si possa creare un'algebra priva di infiniti e quindi infinitesimi.
Per esempio il prof. Wildberger ha messo video e corsi ed ha publicato libri di ogni tipo sul cosiddetto Calcolo Algebrico
Per esempio ---> https://www.youtube.com/watch?v=rTw6Xbm ... KPSg5Ea6XB

Bokonon ha scritto:Per esempio il prof. Wildberger ha messo video e corsi ed ha publicato libri di ogni tipo sul cosiddetto Calcolo Algebrico
Per esempio ---> https://www.youtube.com/watch?v=rTw6Xbm ... KPSg5Ea6XB

Quando sento parlare di gente che "farà uno degli sviluppi più eccitanti della matematica moderna" già guardo con sospetto. Se poi l'argomento sono gli infinitesimi il sospetto raddoppia. E infine, se questa gente chiede soldi per il suo materiale, prendo la porta immediatamente.

Ho studiato il paradosso di zenone questo a scuola ma visto che faccio il classico non ho capito esattamenente quale sia il problema! cioè tanto il movimento esiste e quindi tutto questo mi pare un sofismo inutile!

MartaGueris ha scritto:cioè tanto il movimento esiste e quindi tutto questo mi pare un sofismo inutile!

Però grazie a questo si può intuire che una somma di infiniti addendi può essere finita.
Ed infatti (a meno che non risolvi la questione impostando un equazione) se prendi la serie legata a quel paradosso e ne calcoli il limite, viene finito.

Il problema qui, dal mio punto di vista, è spiegare se può avvenire il movimento di un punto geometrico che parte da $A$ fino a $B$ lungo il segmento di tali estremi, considerando il fatto che deve superare la metà della distanza tra $A$ e $B$ ma prima ancora la metà della metà precedente e così via all'infinito, si cerca una spiegazione matematica dunque che oltrepassi il fatto empirico. Quindi siamo nella retta reale, luoghi astrattamente matematici e non fisici dove forse lo spazio non è nemmeno continuo, ma tale complicatissimo compito lasciamolo ai fisici. In effetti la serie che rappresenta somma infinita di tali intervalli (lunghezze di queste metà e metà di metà ecc...) converge e converge proprio alla lunghezza desiderata, dunque fin qui tutto liscio, ma approfondendo la questione non sembra ancora risolta del tutto, come sto per dire. Il problema è che anche qui si presenta il problema del tempo, che tradotto in questo contesto impone un preciso e unico ordine di queste lunghezze di metà che il punto percorre e supera: da quella (dopo il "passo nullo") più piccola di tutte e via crescendo in maniera strettamente monotona. Il punto osservatore quando si muove deve prima superare la lunghezza più piccola di tutte e subito dopo quella più piccola di tutte eccetto quella appena passata e così via all'infinito.... ed è un problema perché nei Numeri Reali non esiste un numero positivo più piccolo di tutti gli altri positivi ! Ma bisogna dire che la serie non solo converge ma gode anche della proprietà commutativa (cioè si possono scambiare l'ordine degli addendi a piacere), e questo sembrerebbe risolvere tutta la situazione a bomba !! Però, fatto sta, che esplicitare quel preciso ordine delle misure appena detto delle lunghezze è impossibile, almeno nell'ambito dei Numeri Reali Standard. C'è chi dice che infatti il problema è stato completamente risolto nell'area dei cosiddetti Numeri Reali Non Standard dove ci sono anche gli infinitesimi. Francamente non ho mai approfondito la questione fino a tal punto, ma alla luce di quanto detto la cosa appare plausibile.