Integrale di funzione continua

Messaggioda Delirium » 21/02/2018, 16:57

Esercizio (facile). Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua e supponiamo di avere un insieme \( S \subset \mathbb{R} \) di cardinalita' (al piu') numerabile tale che \[ \int_p^q f(x) \, dx = 0 \] per ogni coppia \(p,q \in \mathbb{R} \setminus S \). Mostrare che \(f(x) =0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
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Re: Integrale di funzione continua

Messaggioda Bremen000 » 21/02/2018, 21:34

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Supponiamo per assurdo che esista un $x_0 \in RR$ tale che $f(x_0) \ne 0$. Senza perdere generalità supponiamo che sia $f(x_0)>0$. Poiché $f$ è continua esiste tutto un intorno di $x_0$ dove la funzione è positiva, diciamo $A_{x_0}$.

L'insieme $S$ ha cardinalità minore di quella del continuo e dunque l'insieme $A_{x_0} \setminus S$ ha la cardinalità del continuo e contiene almeno due elementi diciamo $p<q$.

Dunque $\int_p^q f(x)dx>0$, assurdo.
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Re: Integrale di funzione continua

Messaggioda Vincent46 » 21/02/2018, 22:17

Con le stesse ipotesi, basterebbe integrabile sui compatti e si concluderebbe che $f$ è nulla quasi ovunque, giusto?
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Re: Integrale di funzione continua

Messaggioda dan95 » 21/02/2018, 22:33

Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?
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Re: Integrale di funzione continua

Messaggioda Bremen000 » 21/02/2018, 22:39

dan95 ha scritto:Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?


Io volevo vedere se era davvero facile :D

Vincent46 ha scritto:Con le stesse ipotesi, basterebbe integrabile sui compatti e si concluderebbe che $ f $ è nulla quasi ovunque, giusto?


Non ho capito bene cosa intendi ma mi interessa, puoi spiegarti meglio?
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Re: Integrale di funzione continua

Messaggioda Delirium » 21/02/2018, 23:00

dan95 ha scritto:Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?

In accordo con la scala di ovvieta' di Princeton, le mie affermazioni sulla difficolta' o sull'ovvio sono solitamente una via di mezzo tra quelle di Wedderburn e quelle di Lefschetz, quindi quando dico "facile" intendo "ricreativo" o "che puo' essere risolto mentre si aspetta il bus" (assunte le abilita' matematiche di chi popola questa sezione, ovvero i soliti pochi).

@Bremen: si'!
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