Serie di funzioni problema 3 SISSA 2015

[ludoro]

Ciao a tutti. Ho provato a fare questo esercizio. Per ogni x in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, considero la serie:
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^n} n (\frac{\pi}{2} - arctg(n)) log(2+\frac{1}{n}) \]

Voglio trovare l'insieme di convergenza e vedere se su (1,$\infty$) la serie converge uniformemente.

Questo è quello che ho fatto fino ad adesso:
Considero il valore assoluto della serie per levare il $(-1)^n$. Poi noto che $\frac{arctg(1/n)}{1/n}$ tende ad 1 per n che tende ad infinito e $log(2+\frac{1}{n})$ tende a log(2), ottengo:
\[ log(2)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\vert x \vert^n} \]

Questa serie converge per $abs(x) > 1$. Passo alla domanda sulla convergenza uniforme. Uso questa definizione:
$f_n$ converge uniformente $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon$, $\exists N \in \mathbb{N}$ tale che $abs( f_n(x) - f_m(x) ) < \epsilon$ $\forall m,n \geq N$ e $\forall x \in (1,\infty).$

Provo a farlo: \[ \vert \frac{1}{\vert x \vert^n} - \frac{1}{\vert x\vert^m}\vert< \epsilon \]

Però qui mi blocco, anche se mi sembra banale se tutto quello che ho fatto prima è giusto.

Qualcuno può controllare?

EDIT: Credo di aver risolto procedendo in questo modo:

\[\lim_{n\to \infty}sup(f_n(x) - f(x)) \]
Dove f(x) = $\lim_{n\to \infty}f_n(x)$, che in questo caso è 0.
$f_n(x)$ su $(1,\infty)$ è strettamente decrescente, quindi il sup è per
x=1, il sup \'e quindi 1, che è diverso da 0 quindi la funzione non converge
uniformemente su $(1,\infty)$.

E' corretto?

[anto_zoolander]

è molto simile ad una serie di potenze..

[ludoro]

Giusto, una serie di potenze converge uniformemente in tutti i compatti contenuti nell'insieme di convergenza. Mi basta questo per concludere che non converge uniformante in (1,$\infty)$.. però il mio ragionamento è comunque corretto?

[dissonance]

Ma no, tu devi studiare la convergenza della serie, non della successione.