Le funzioni continue che mandano \( \mathbb{Q}\) in \(\mathbb{Q}\) sono tante

[Delirium]

Esercizio. Mostrare che l'insieme \[ S = \{ f:[0,1] \to \mathbb{R} \, : \, f \text{ continua e } f(q) \in \mathbb{Q} \text{ se } q \in \mathbb{Q} \} \]e' piu' che numerabile.

Non ho scritto una dimostrazione ma so come si fa.

[killing_buddha]

Un'idea buttata lì super palle al vento.

Lo spazio degli omeomorfismi di $[0,1]$ è omeomorfo \(\{0,1\}\times ]0,1[^\omega\), in particolare ha almeno \(2 \cdot \mathfrak{c}^\omega = \mathfrak{c}^\omega = \mathfrak c\) elementi. Siccome una funzione continua $[0,1]\to RR$ è determinata da dove manda i razionali, $f \ne g \iff f\sigma \ne g\sigma$ per un omeomorfismo $\sigma$, e quindi ci sono almeno $\mathfrak{c}$ di questi morfismi.

[Delirium]

Io avevo un'idea piu' rude: prendo una successione \( q=\{q_n \}_{n \in \mathbb{N} } \subset \mathbb{Q} \cap [0,1] \) e costruisco funzioni incollando pezzi di robe affini cosi': \[f_q(x) := \begin{cases} q_1 & \text{se } x \in (1/2,1] \\ q_1 + q_2 (x - 1/2) & \text{se } x \in (1/3,1/2] \\ q_1 - q_2/6 + q_3 (x-1/3) & \text{se } x \in (1/4,1/3] \\ \vdots \end{cases} \]Con qualche criterio nel selezionare \(q\) (per evitare "doppioni") dovrebbe essere possibile produrre una famiglia non numerabile di funzioni continue.

[coffee]

Propongo una variazione sul tema delle funzioni affini a tratti.

Sia $X$ la famiglia dei sottoinsiemi di $[0,1]$ chiusi e non vuoti aventi frontiera contenuta in $\mathbb Q$. Per ogni $A\in X$ indico con $f_A:[0,1]\to\mathbb R$ la funzione distanza da $A$, definita da \[ f_A(x) = \inf_{t\in A}|x-t| \] per ogni $x\in[0,1]$; osservo che in effetti \[ f_A(x) = \min_{t\in A}|x-t| \] per ogni $x\in A$, e che nel caso in cui $A\ne[0,1]$ si ha ulteriormente \[ f_A(x) = \min_{t\in\partial A}|x-t| \] per ogni $x\in A\setminus[0,1]$. $f_A$ è continua. Se $q\in[0,1]$ è razionale, ci sono due possibilità: o $q\in A$, e allora $f_A(q)=0$, oppure $q\in[0,1]\setminus A$ e quindi esiste $y\in\partial A\subseteq\mathbb Q$ tale che $f_A(q)=|q-y|$. In entrambi i casi, $f_A(q)\in\mathbb Q$.

Per ogni $A,B\in X$ vale $f_A=f_B$ se e solo se $A=B$. Siccome $f_A\in S$ per ogni $A\in X$, la cardinalità di $S$ non è minore di quella di $X$. Ma $X$ è più che numerabile e quindi lo è anche $S$.

[Delirium]

@coffee: buona idea!