da coffee » 05/03/2018, 22:17
Propongo una variazione sul tema delle funzioni affini a tratti.
Sia $X$ la famiglia dei sottoinsiemi di $[0,1]$ chiusi e non vuoti aventi frontiera contenuta in $\mathbb Q$. Per ogni $A\in X$ indico con $f_A:[0,1]\to\mathbb R$ la funzione distanza da $A$, definita da \[ f_A(x) = \inf_{t\in A}|x-t| \] per ogni $x\in[0,1]$; osservo che in effetti \[ f_A(x) = \min_{t\in A}|x-t| \] per ogni $x\in A$, e che nel caso in cui $A\ne[0,1]$ si ha ulteriormente \[ f_A(x) = \min_{t\in\partial A}|x-t| \] per ogni $x\in A\setminus[0,1]$. $f_A$ è continua. Se $q\in[0,1]$ è razionale, ci sono due possibilità: o $q\in A$, e allora $f_A(q)=0$, oppure $q\in[0,1]\setminus A$ e quindi esiste $y\in\partial A\subseteq\mathbb Q$ tale che $f_A(q)=|q-y|$. In entrambi i casi, $f_A(q)\in\mathbb Q$.
Per ogni $A,B\in X$ vale $f_A=f_B$ se e solo se $A=B$. Siccome $f_A\in S$ per ogni $A\in X$, la cardinalità di $S$ non è minore di quella di $X$. Ma $X$ è più che numerabile e quindi lo è anche $S$.