Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda massimo90ita » 15/03/2018, 16:03

(re-post con soluzione come da regolamento)
Buongiorno. Ho delle difficoltà con un esercizio di probabilità condizionata.
Vorrei delucidazioni sul seguente quesito.
In un paesello di 995 persone giungono 5 venditori.
Essi vendono un prodotto che può interessare al 60% delle persone.
Essendo i venditori in concorrenza tra di loro,quindi vi è la possibilità che quuel giorno un venditore contatti la stessa persona contattata da un suo simile. Indipendentemente dal successo o meno del primo venditore si consideri il risultato della seconda interazione un insuccesso.
Qual è la probabilità che un venditore contattando una persona venda un suo prodotto?

Io penso si possa rappresentare la probabilità del singolo venditore come
\(\displaystyle
\frac{persone*0.6 - (venditori-1)*0.6}{persone}
\)

In quanto penso che 4 venditori andranno ad assicurarsi 0.6*4 acquirenti e al quinto venditore restano "0.6*persone -2" tra quelle papabili per la vendità, mentre il numero di persone che rappresenta un insuccesso resta costante.
Che ne pensate?

Grazie. :smt023
massimo90ita
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Re: Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda tommik » 15/03/2018, 16:16

così va meglio :D

in pratica dalla tua formula otteniamo $(991/995)*0.6=0.598$

Intanto comincerei ad osservare che, su un totale di 995 persone e 5 venditori non è molto facile che il mio cliente sia già stato visitato da un collega.... e quindi la probabilità verrà più o meno ancora 0.6 come se fossi l'unico venditore.

Quindi per risolvere il problema lo inizierei ad impostare diversamente...

supponiamo che vi siano 5 clienti (1,2,3,4,5) e tre venditori (A,B,C) e che la probabilità di completare positivamente la vendita sia 50%. Come da testo, posso vendere solo se il cliente non è mai stato visitato prima da altri, altrimenti è un sicuro insuccesso.

Per riuscire a vendere, quindi,

- se scelgo il cliente 1 ($P=1/5$) è necessario B abbia scelto i clienti 2,3,4,5 e lo stesso abbia fatto C $rarr p=(4/5)^2$
- se scelgo il cliente 2 ($P=1/5$) è necessario B abbia scelto i clienti 1,3,4,5 e lo stesso abbia fatto C $rarr p=(4/5)^2$
- e così via per tutti gli altri clienti

In sostanza, applicando il teorema delle probabilità totali avrò

$5*1/5(4/5)^2*1/2$

in pratica $((N-1)/N)^(v-1)*p$

dove

$N=$ numero di clienti
$v=$ numero di venditori
$p=$ % di interessati al prodotto


Ovviamente questa è solo una mia opinione.....per cui ogni eventuale altro intervento sarà utile alla discussione.

PS: scusa per la chiusura del messaggio precedente ma siamo un po' stufi di utenti che postano messaggi in modo selvaggio....
tommik
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Re: Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda massimo90ita » 15/03/2018, 17:34

Non c'è nulla di cui scusarsi. Errore mio.
Grazie.
Ora ci rifletto un po' su. Sembra congrua.
massimo90ita
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Re: Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda massimo90ita » 15/03/2018, 19:54

Mi chiedo. I casi sfavorevoli sicuri sono v-1.
I casi favorevoli sono
\(\displaystyle
(N- v+1)*p
\)
A questo punto immagino la probabilità sia

\(\displaystyle
\frac{(N- v+1)*p}{N}
\)

O no?

Equivale a dire

\(\displaystyle
\frac{successi}{totale}
\)
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Re: Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda tommik » 15/03/2018, 20:48

massimo90ita ha scritto:Mi chiedo. I casi sfavorevoli sicuri sono v-1


Perché supponi che ogni venditore vada da un cliente diverso...ma non è così.

Supponi di avere 4 clienti e 6 venditori

Tu dici $(4-6+1)/4 p<0$

Io invece dico $(1-1/4)^5 p>0$
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Re: Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda massimo90ita » 16/03/2018, 07:26

Giusto, la probabilità non può essere <0. Tuttavia nutro ancora delle perplessità.
Se considerassimo il medesimo problema con un numero di venditori superiore a quello degli acquirenti.
\(\displaystyle N<v \)
Non dovremmo calcolare la probabilità in questo modo
\(\displaystyle
\frac{v!}{(N-v)!}
\)
Rappresenta tutte le disposizioni senza ripetizione dei venditori sui clienti.
Di queste quante sono quelle che possono tornare utile al "nostro" venditore?
Esse sono N.
Quindi la probabilità dovrebbe essere

\(\displaystyle
\frac{N}{\frac{v!}{(N-v)!}}*p
\)

In quanto, una volta trovato un cliente libero, dovrei convincerlo.
Ed in effetti la probabilità di vendere in questo caso risulta minore rispetto al caso sopra descritto
\(\displaystyle (\frac{N-1}{N})^{v-1}*p \)

Quindi presumo essa non sia soluzione del caso generale. :S
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Re: Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda tommik » 16/03/2018, 09:04

Prima di tutto le configurazioni possibili, $AA v,N$ interi e con $N>1$ sono $N^v$ come già ti ho detto fin dall'inizio, dato che ogni venditore può andare da qualunque cliente.

In questi casi può venire utile fare un esempio pratico con uno spazio campionario molto ridotto:

ES:

Venditori: Aldo, Giovanni, Giacomo

Clienti: Tizio, Caio

Secondo la formula che ti ho indicato, la probabilità che Aldo trovi un cliente libero è $(1-1/2)^2=1/4$

che coincide con i seguenti eventi elementari di $Omega$

Immagine

Con ciò non voglio affermare che la mia soluzione sia ineccepibile, ma almeno è coerente.
Ciò premesso, visto che in questa stanza non vedo un gran contraddittorio, sposto il messaggio in "Pensare un po' di più" dove sicuramente ci saranno altre (e soprattutto molto qualificate) idee.
Lascio anche l'argomento "ombra" in Statistica in modo da avere ancora più visibilità, di più non posso fare

cordiali saluti
Ultima modifica di tommik il 16/03/2018, 18:22, modificato 1 volta in totale.
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Re: Problema del venditore- con soluzione

Messaggioda massimo90ita » 16/03/2018, 09:37

Ok, grazie :) :D
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