Provo:
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1. Dalla linearità di $T$ si ha che \( \text{Fix } T\) è un sottospazio vettoriale chiuso di \(\mathcal{H} \).
2. \(T^* \) è un'isometria su \( \text{Fix } T\):
Sia \( x \in \text{Fix } T\). Per le proprietà dell'aggiunto si ha che \( \|T^*\|_{op} = \|T\|_{op} \le 1 \) e dunque in particolare \( \|T^*x\| \le \|x\| \). Inoltre se $x \ne 0$ si ha
\[ \|x\|^2 = \langle x, x \rangle = \langle Tx, x \rangle = \langle x, T^*x \rangle \le \|x\| \|T^*x\| \Rightarrow \|T^*x\| \ge \|x\| \]
Quindi \( \|T^*x\| = \|x\| \quad \forall x \in \text{Fix } T \).
3. Sia \( x \in \text{Fix } T\), allora la proiezione di \(T^*x \) su \( \text{Fix } T \) è $x$:
Sia \( y \in \text{Fix } T\), allora \[ \langle T^*x-x,y \rangle = \langle T^*x,y \rangle - \langle x,y \rangle = \langle x,Ty \rangle -\langle x,Ty \rangle =0\]
Quindi \( T^*x-x \perp y \quad \forall y \in \text{Fix } T \) e dal punto 1. si ha che la proiezione di \(T^*x \) su \( \text{Fix } T \) è $x$.
4. Sia \( x \in \text{Fix } T\), allora \(T^*x = x\):
Se fosse \(T^*x \ne x\) allora, per il punto 3, \( \|T^*x \| = \|x\| + \|T^*x-x\| > \|x\| \) in contraddizione con il punto 2.
5. \( \text{Fix } T = \text{Fix } T^* \) :
Dal punto 4. si ha che \( \text{Fix } T \subset \text{Fix } T^* \), ma poiché \( (T^*)^* = T \) si ha \( \text{Fix } T = \text{Fix } T^* \).
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)