\(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda Delirium » 03/04/2018, 10:51

Problema. Sia \( D \) sottoinsieme non vuoto, limitato, chiuso e convesso di uno spazio di Hilbert \( \mathcal{H}\) e sia \(T : D \to D \) un operatore nonespansivo. Mostrare che \(\text{Fix } T \ne \varnothing \).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
In letteratura si trova col nome di Teorema di Browder-Göhde-Kirk.
Ultima modifica di Delirium il 03/04/2018, 12:12, modificato 1 volta in totale.
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda otta96 » 03/04/2018, 11:34

C'è qualcosa che non mi torna, se $0\notinD$ e $AAx\in D, T(x) =0$ non è un controesempio?
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda Delirium » 03/04/2018, 12:12

otta96 ha scritto:C'è qualcosa che non mi torna, se $0\notinD$ e $AAx\in D, T(x) =0$ non è un controesempio?

Giusta osservazione, ho corretto l'OP (il codominio e' ovviamente \(D\)).
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda otta96 » 03/04/2018, 15:23

Scusami ma non ho neanche capito bene che proprietà deve avere $T$, cioè deve essere la restrizione di una funzione da $H$ in $H$ tale che $||T(x)-T(y)||<=||x-y||$, e poi? Altre cose? Tipo deve essere lineare? Limitato?
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda Delirium » 03/04/2018, 15:35

otta96 ha scritto:Scusami ma non ho neanche capito bene che proprietà deve avere $T$, cioè deve essere la restrizione di una funzione da $H$ in $H$ tale che $||T(x)-T(y)||<=||x-y||$, e poi? Altre cose? Tipo deve essere lineare? Limitato?

Puoi definirla come ti pare, l'importante e' che sia 1-Lip in \(D\). Non ci sono altre ipotesi - se ti confonde la parola "operatore", pensa semplicemente ad una mappa (non necessariamente lineare) tra spazi (che possono essere) funzionali. Nel nostro caso si tratta di un sottoinsieme con una geometria specifica di uno spazio di Hilbert. De facto l'OP vale in condizioni ancora piu' rilassate, ovvero quando \(\mathcal{H}\) e' uno spazio di Banach uniformemente convesso.
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda otta96 » 03/04/2018, 16:25

Io provo a pensarci, ma non ti garantisco nulla che con questi argomenti non sono molto ferrato...
Ultima modifica di otta96 il 03/04/2018, 17:07, modificato 1 volta in totale.
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda Delirium » 03/04/2018, 16:43

otta96 ha scritto:Io ci provo a pensarci, ma non ti garantisco nulla che con questi argomenti non sono molto ferrato...

E' un problema difficile e ci vogliono diversi ingredienti. Metto una soluzione "guidata" in spoiler.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Nelle ipotesi date \(D\) e' debolmente sequenzialmente chiuso e debolmente sequenzialmente compatto. Fissa \( x_0 \in D \) e prendi una successione \( \{\alpha_n \}_{n \in \mathbb{N} } \subseteq [0,1[ \) con \( \alpha_0 =1\) e monotonicamente (?) descrescente a \(0\). Definisci la successione di operatori \( T_n : D \to D \) mediante \( x \mapsto \alpha_n x_0 + (1-\alpha_n) T x \). I \(T_n\) sono contrazioni. Usa il teorema del punto fisso di Banach.
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda dissonance » 03/04/2018, 23:08

Bello! Mi piace anche il riassunto nello spoiler, ben fatto, non è facile fare riassunti.
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Re: \(\text{Fix } T \ne \varnothing \) per operatori nonespansivi

Messaggioda Delirium » 07/04/2018, 18:59

dissonance ha scritto:Bello! Mi piace anche il riassunto nello spoiler, ben fatto, non è facile fare riassunti.

Grazie!
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