Le funzioni uniformemente continue sono "sublineari"

[Delirium]

Credo sia un classico: sia \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) uniformemente continua con \( f(0)=0\). Mostrare che esiste una costante \( B \ge 0 \) tale che \( |f(x)| \le 1 + B |x| \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \).

[totissimus]

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Fissato $\epsilon=1$ esiste un numero $\delta>0$ tale che $|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<1$

Dati $x,y$ sia $n$ l'intero tale che$n-1\leq\frac{x-y}{\delta}<n$.

Posto $h=\frac{x-y}{n}$ abbiamo:

$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(x+h)|+\ldots|f(x+(n-1)h)-f(x+nh)|\leq|n|\leq\frac{|x-y|}{\delta}+1$

Per $y=0$:

$|f(x)|\leq\frac{|x|}{\delta}+1$

$|f(x)|\leq B|x|+1$ con $B=\frac{1}{\delta}$

[Delirium]

@totissimus:

[j18eos]

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Il così detto lemma della Farfalla per le funzioni uniformemente continue; molto simpatico. ^_^