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Fissato $\epsilon=1$ esiste un numero $\delta>0$ tale che $|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<1$
Dati $x,y$ sia $n$ l'intero tale che$n-1\leq\frac{x-y}{\delta}<n$.
Posto $h=\frac{x-y}{n}$ abbiamo:
$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(x+h)|+\ldots|f(x+(n-1)h)-f(x+nh)|\leq|n|\leq\frac{|x-y|}{\delta}+1$
Per $y=0$:
$|f(x)|\leq\frac{|x|}{\delta}+1$
$|f(x)|\leq B|x|+1$ con $B=\frac{1}{\delta}$