La "condizione di stabilità" è più debole

[Delirium]

Esercizio. Costruire una successione \( \{x_n \}_{n \in \mathbb{N} } \subseteq \mathbb{R} \) tale che \( x_n - x_{n+1} \to 0 \) per \(n \to \infty \) ma che non sia di Cauchy.

[Bremen000]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La serie armonica!

\[ S_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_n = + \infty \]
e dunque non è di Cauchy.

Ma \( |S_n - S_{n+1}| = \frac{1}{n+1} \to 0 \).

[dissonance]

Ne abbiamo parlato qualche mese fa, è uno spunto di riflessione importante:

viewtopic.php?p=8309582#p8309582

(ci sono vari esempi, tra cui quello di Bremen, che è corretto).

Un esercizio interessante è dimostrare che la "condizione di stabilità" dell'OP implica che i punti limite di \(x_n\) formano un intervallo. (Definizione: l'insieme dei punti limite di \(x_n\) è \(\{ \ell\in\mathbb R \ :\ x_{k(n)}\to \ell\ \text{per qualche sottosuccessione }x_{k(n)}\}\).)

[Bremen000]

@dissonance, bello!

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Mi basta dimostrare che se \( \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) ha come punti limite $a,b \in RR$ e vale $|x_n - x_{n+1}| \to 0$ allora, se si ha $a<x<b$, anche $x$ è un punto limite.

Sia \( \epsilon >0 \) fissato. Per definizione di limite esiste un $N_{\epsilon} \in NN $ tale che $|x_n - x_{n+1}|<\epsilon$ per ogni $n>N_{\epsilon}$.

Poiché $a$ è un punto limite esiste certamente un $n_1 >N_{\epsilon}$ tale che $x_{n_1} <y$.
Poiché $b$ è un punto limite esiste certamente un $n_2 >n_1$ tale che $x_{n_2} >y$.

Deve esistere quindi un \( \overline{n} \in \{n_1, \dots n_2-1\} \) tale che \( x_{\overline{n}} < x \le x_{\overline{n}+1} < x_{\overline{n}} + \epsilon \) e dunque x- x_{\overline{n}} < epsilon.

credo

[Delirium]

Credo che questo esercizio sia interessante in quanto mostra la forza della condizione di Cauchy. Naively, non basta che i termini di una successioni si avvicinino l'un l'altro sempre di piu', serve che lo facciano con una certa velocita'.

@Bremen: e' corretto l'esempio, avevo costruito qualcosa di simile. Tuttavia non sono d'accordo con la tua seconda dimostrazione: dimostri che dati due punti limite \(a\) e \(b\) allora l'intero \( [a,b]\) e' fatto di punti limite. Quindi, detto \(L\) l'insieme dei punti limite, mi pare che tu dimostri soltanto qualcosa tipo \( [a,b] \subseteq L \).

[Bremen000]

Ciao Delirium,
Non capisco, ho fatto vedere che l’insieme dei punti limite è convesso e dunque è un intervallo.

[Delirium]

Si', ma dato \(x\) punto limite, e' vero che \(x \in [a,b]\)?
Tu dici: prendo due punti limite \(a\) e \(b\) e dimostro che tutto l'intervallo \([a,b]\) e' fatto di punti limite. Ok. Quello che (mi pare) non dimostri e' che tutti i punti limite stanno in \( [a,b]\) (ed e', credo, la parte difficile, perche' gia' nella selezione di \(a\) e \(b\) stai presupponendo che essi siano gli estremi del tuo intervallo).

[Bremen000]

Mmmm non capisco bene cosa intendi. L’obiettivo era mostrare che $L$ era un intervallo. Io ho fatto vedere che $L$ è convesso. Se siamo d’accordo su questo allora non capisco dove sia il problema! Perdonami ma probabilmente mi sto perdendo qualcosa...

[Delirium]

Prova a rispondere a questa domanda

Si', ma dato \(x\) punto limite, e' vero che \(x \in [a,b]\)? [...]

Credo che l'errore stia nella "scelta" di \(a\) e \(b\). Non li puoi fissare cosi'. Piuttosto, siano \( a = \inf L\) e \(b= \sup L \). Da qui il tuo argomento funziona.

[Bremen000]

Secondo me la domanda posta così non ha senso perché $a$ e $b$ non è chiaro chi siano. Una volta che ho fatto vedere che è connesso, ovviamente ho che \( L = (\inf L, \sup L ) \) (non ho pensato se l’insieme magari è aperto o chiuso ma a meno di quadre dovrebbe essere così).