Un sistema di equazioni congruenziali esigente

[j18eos]

Dimostrare che il seguente sistema di equazioni congruenziali a coefficiente nel campo finito \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) ammette una soluzione non banale, id est diversa da \(\displaystyle(0,0,0)\)
\[
\begin{cases}
x^3y+y^3z+xz^3=0\\
3x^2y+z^3=0\\
3y^2z+x^3=0\\
3xz^2+y^3=0
\end{cases}
\]
se e solo se \(\displaystyle p=7\).

[j18eos]

UPDATE: avevo sbagliato a scrivere un coefficiente, chiedo scusa.

Origine del problema: dimostrare che la quartica di Klein nei piani proiettivi \(\displaystyle\mathbb{P}^2\) sui campi finiti \(\displaystyle\mathbb{Z}_p\), con \(\displaystyle p\) numero primo, è singolare se e solo se \(\displaystyle p=7\).

[.Ruben.]

Sto scrivendo dal cellulare: mi scuso anticipatamente per eventuali errori di forma.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$P = 7$ é condizione sufficiente affinché il sistema ammetta soluzioni non banali, perché (ad esempio) la terna (1, 2, 4) risolve.
Dimostro ora che é condizione necessaria, ossia che se $p \ne 7$ il sistema ammette come unica soluzione la terna (0,0,0).
Sia quindi $p \ne 7$.
Si vede subito dalla seconda e dalla quarta eq. che, se x=0, allora y=z=0: in generale si vede subito che, se xyz=0, allora x=y=z=0.
Abbiamo ora 2 casi: p = 3 e p diverso da 3.
Se p = 3 le ultime tre eq. forniscono subito x=y=z=0.
Analizziamo dunque il secondo caso.
Dalla terza eq. ottengo: $x^3y = -3 y^3z$ e dalla quarta ottengo: $xz^3 = -1/3 y^3 z$; sostituendo nella prima ottengo: $7/3 y^3z=0$, da cui, poiché $7 \ne 0$ (avendo posto $p \ne 7$), deriva: $y^3z =0$, ossia x=y=z=0.

Q.E.D.

[.Ruben.]

UPDATE: avevo sbagliato a scrivere un coefficiente, chiedo scusa.

La parte della cond.necessaria funzionava comunque.

[dissonance]

@Ruben:

[j18eos]

Perfetto!

...La parte della condizione necessaria funzionava comunque.

Non ricordo qual era il coefficiente sbagliato, dato che avevo scritto proprio un sistema errato.

[.Ruben.]

Perfetto!

...La parte della condizione necessaria funzionava comunque.

Non ricordo qual era il coefficiente sbagliato, dato che avevo scritto proprio un sistema errato.

Grazie mille; era un bellissimo problema.
Comunque mi sembra di ricordare che mancasse un 3.