\( \log \) non è armonica in tutto il disco

[Delirium]

Esercizio. sia \( f \in C^2 ( D) \) ove \( D \subseteq \mathbb{R}^2\) è il disco unitario chiuso centrato nell'origine; se \( f(0,0)=A\) e \( \int_{\partial D } f =B\), calcolare \[ \int_D \Delta f(x,y) \cdot \log(x^2 + y^2) \, dx \, dy. \]
Hint.

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Può essere (estremamente) utile ricordare la seconda identità di Green, nonché osservare che il titolo contiene un altro hint.

[Bremen000]

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Potrei barare tantissimo dicendo che so che

\[ \Delta \log( \sqrt{x^2+y^2} ) = 2 \pi \delta_0 \quad \text{in} \quad \mathcal{D}'(\mathbb{R}^2) \]

da cui

\[ \Delta \log(x^2+y^2 ) = 4 \pi \delta_0 \quad \text{in} \quad \mathcal{D}'(\mathbb{R}^2) \]

Ma:

Sia $B_r$ la palla centrata nell'origine di raggio $r$ per ogni $0<r<1$. Allora

\[ \int_D \Delta f(x,y) \cdot \log(x^2 + y^2) \, dx \, dy = \lim_{r \to 0^+} \int_{D \setminus B_r} \Delta f(x,y) \cdot \log(x^2 + y^2) \, dx \, dy\]

In \( D \setminus B_r \) valgono tutte le formule di integrazione per parti, dunque si ha:

\[ \int_{D \setminus B_r} \Delta f(x,y) \cdot \log(x^2 + y^2) \, dx \, dy = -\int_{D \setminus B_r} \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \nabla \log |\mathbf{x}|^2 d\mathbf{x} + \int_{\partial (D \setminus B_r)} \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{\nu} \log|\mathbf{x}|^2 d \mathbf{\sigma} = -2\int_{D \setminus B_r} \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^2} d\mathbf{x} + \int_{\partial B_r}\nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{\nu} \log|\mathbf{x}|^2 d \mathbf{\sigma} =-2I_1(r) + I_2(r) \]

\[ I_1(r) = \int_{D \setminus B_r} \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^2} d\mathbf{x} = -\int_{D \setminus B_r} f(\mathbf{x}) \nabla \cdot \Biggl ( \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^2} \Biggr )d\mathbf{x} + \int_{\partial (D \setminus B_r)} f(\mathbf{x}) \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^2} \cdot \mathbf{\nu} d \mathbf{\sigma} =0+ \int_{\partial D} f(\mathbf{x}) d \mathbf{\sigma} -\int_{\partial B_r} \frac{f(\mathbf{x})}{r} d \mathbf{\sigma} = B - \int_{\partial B_r} \frac{f(\mathbf{x})}{r} d \mathbf{\sigma} \]

Inoltre si ha

\[ \int_{\partial B_r} \frac{f(\mathbf{x})}{r} d \mathbf{\sigma} = 2\pi r \frac{1}{r} f(\mathbf{x}_r) \]

E siccome \( \mathbf{x}_r \to 0 \) quando \( r \to 0^+ \) si ha

\[ \lim_{r \to 0^+} \int_{\partial B_r} \frac{f(\mathbf{x})}{r} d \mathbf{\sigma} = 2\pi f(\mathbf{0}) = 2\pi A \Rightarrow \lim_{r \to 0^+} I_1(r) = B-2\pi A\]

\[ I_2 = \int_{\partial B_r}\nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{\nu} \log|\mathbf{x}|^2 d \mathbf{\sigma} = \int_{\partial B_r}\nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{\nu} \log(r^2) d \mathbf{\sigma} \Rightarrow \Biggl | \int_{\partial B_r}\nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{\nu} \log(r^2) d \mathbf{\sigma} \Biggr | \le \log(r^2) 2\pi r \sup_{D} | \nabla f | \Rightarrow \lim_{r \to 0^+} I_2(r) =0\]

Infine

\[ \int_D \Delta f(x,y) \cdot \log(x^2 + y^2) \, dx \, dy = \lim_{r \to 0^+} -2I_1(r) +I_2(r) = -2B +4\pi A +0 = 4\pi A-2B \]

[Delirium]